Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0. A função tem três componentes:
t
Vamos usar conhecimentos de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas para resolver cada parte.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: $ \frac{1 - \cos t}{t^{2}} $.
Sabemos que, quando $ t $ está perto de 0, podemos usar a série de Taylor para o cosseno:
1 - cos tt^2
Então:
t
Substituindo na expressão:
cos t approx 1 - t^22
Portanto:
1 - cos t approx t^22

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: $ \frac{1 - \cos t}{t} $.
Usando a mesma aproximação do cosseno:
1 - cos tt
Substituindo:
1 - cos t approx t^22
Quando $ t $ se aproxima de 0, $ \frac{t}{2} $ também se aproxima de 0. Logo:
1 - cos tt approx t^22t = t2

Passo 4

Por fim, vamos calcular a terceira componente: $ \frac{\sin t}{\sqrt{t}} $.
Sabemos que, para $ t $ próximo de 0:
sin traizt
Substituindo na expressão:
t
Como $ t $ está se aproximando de 0, $ \sqrt{t} $ também vai para 0. Portanto:
sin t approx t

Resposta

O limite da função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0 é:
t

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