Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0. A função tem três componentes:
Vamos usar conhecimentos de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas para resolver cada parte.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente: $ \frac{1 - \cos t}{t^{2}} $.
Sabemos que, quando $ t $ está perto de 0, podemos usar a série de Taylor para o cosseno:
Então:
Substituindo na expressão:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente: $ \frac{1 - \cos t}{t} $.
Usando a mesma aproximação do cosseno:
Substituindo:
Quando $ t $ se aproxima de 0, $ \frac{t}{2} $ também se aproxima de 0. Logo:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a terceira componente: $ \frac{\sin t}{\sqrt{t}} $.
Sabemos que, para $ t $ próximo de 0:
Substituindo na expressão:
Como $ t $ está se aproximando de 0, $ \sqrt{t} $ também vai para 0. Portanto:
Resposta
O limite da função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0 é: