Sejam
um intervalo aberto e
uma função. Dado
, lembre que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
é a (única) reta que passa pelo ponto
e tem inclinação igual a
quando o limite existe (veja vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente
é dada por
. Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação
em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
, no ponto
Passo 1
O exercício nos pede para encontrar primeiro a derivada genérica de f(x)=5/x (ou seja, a inclinação f′(a)) e depois usar esse resultado para escrever a equação da reta tangente ao gráfico no ponto (2,f(2)). Vamos usar a definição de derivada via regra de potência e depois a forma ponto-inclinação da reta.
Passo 2
Reescrevemos f(x) como f(x)=5·x^{-1} e aplicamos a regra de potência: quando g(x)=x^n, g′(x)=n·x^{n-1}. Assim,
f′(x)=5·(−1)·x^{−2} ⇒ f′(x)=−5·x^{−2} ⇒ f′(a)=−5/a^2.
f′(x)=5·(−1)·x^{−2} ⇒ f′(x)=−5·x^{−2} ⇒ f′(a)=−5/a^2.
Passo 3
Agora avaliamos em a=2. Temos f(2)=5/2 e f′(2)=−5/2^2=−5/4. Usamos a forma ponto-inclinação da reta: y−f(2)=f′(2)·(x−2). Substituindo,
y−5/2=−5/4·(x−2). Simplificando em forma explícita,
y=−5/4·x+5.
y−5/2=−5/4·(x−2). Simplificando em forma explícita,
y=−5/4·x+5.
Passo 4
Portanto, a reta tangente ao gráfico de f em (2,5/2) fica y=−5/4 x+5.
Resposta
A inclinação genérica é
e a equação da reta tangente em
é
.