Sejam I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função. Dado a in I, lembre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é a (única) reta que passa pelo ponto (a, f(a)) e tem inclinação igual a
f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a
quando o limite existe (veja vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) é dada por y-f(a)=f^prime(a)(x-a). Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
f(x)=5x, no ponto (2, f(2))

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar primeiro a derivada genérica de f(x)=5/x (ou seja, a inclinação f′(a)) e depois usar esse resultado para escrever a equação da reta tangente ao gráfico no ponto (2,f(2)). Vamos usar a definição de derivada via regra de potência e depois a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como f(x)=5·x^{-1} e aplicamos a regra de potência: quando g(x)=x^n, g′(x)=n·x^{n-1}. Assim,
f′(x)=5·(−1)·x^{−2} ⇒ f′(x)=−5·x^{−2} ⇒ f′(a)=−5/a^2.

Passo 3

Agora avaliamos em a=2. Temos f(2)=5/2 e f′(2)=−5/2^2=−5/4. Usamos a forma ponto-inclinação da reta: y−f(2)=f′(2)·(x−2). Substituindo,
y−5/2=−5/4·(x−2). Simplificando em forma explícita,
y=−5/4·x+5.

Passo 4

Portanto, a reta tangente ao gráfico de f em (2,5/2) fica y=−5/4 x+5.

Resposta

A inclinação genérica é f'(a)= -5a^2 e a equação da reta tangente em (2,52) é y = -54x + 5.

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