Esboce a curva com funçăo vetorial
r(t)=t i+cos pi t j+sen pi t k t >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar a curva de uma função vetorial, que é basicamente desenhar como essa curva se comporta no espaço. A função que temos é r(t) = t i + cos pi t j + sen pi t k, onde t >= 0. Para isso, vamos precisar entender como cada componente da função (as partes em i, j e k) influencia o desenho da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes individuais:
x(t) = t
y(t) = cos pi t
z(t) = sin pi t
Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto no espaço com coordenadas (x(t), y(t), z(t)).

Passo 3

Observando as equações de y(t) e z(t), vemos que elas estão relacionadas à função trigonométrica do seno e cosseno. Sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Isso significa que, independentemente do valor de y(t)^2 + z(t)^2 = cos^2 pi t + sin^2 pi t = 1 , os pontos t sempre estarão sobre um círculo de raio 1 no plano (y(t), z(t)).

Passo 4

A componente x(t) = t indica que, conforme t aumenta, a posição no eixo x também aumenta de forma linear. Portanto, estamos movendo-nos constantemente ao longo do eixo x enquanto permanecemos no círculo y^2 + z^2 = 1 no plano yz.

Passo 5

Juntando tudo isso, percebemos que a curva descrita pela função vetorial é uma hélice cilíndrica. Uma hélice é uma curva tridimensional que enrola em torno de um cilindro. No nosso caso, o cilindro tem raio 1 e está alinhado com o eixo x. Conforme t aumenta, a curva faz uma volta completa ao redor do cilindro a cada aumento de t de 2 unidades (porque o período das funções seno e cosseno aqui é 2pipi = 2).

Resposta

A curva r(t) = t i + cos pi t j + sen pi t k para t >= 0 é uma hélice cilíndrica de raio 1, que se estende ao longo do eixo x, dando voltas circulares no plano yz conforme avança no eixo x.

Exercícios relacionados