Esboce a curva com funçăo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar a curva de uma função vetorial, que é basicamente desenhar como essa curva se comporta no espaço. A função que temos é
, onde
. Para isso, vamos precisar entender como cada componente da função (as partes em
,
e
) influencia o desenho da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes individuais:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto no espaço com coordenadas
.
Passo 3
Observando as equações de
e
, vemos que elas estão relacionadas à função trigonométrica do seno e cosseno. Sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
Isso significa que, independentemente do valor de
, os pontos
sempre estarão sobre um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 4
A componente
indica que, conforme
aumenta, a posição no eixo
também aumenta de forma linear. Portanto, estamos movendo-nos constantemente ao longo do eixo
enquanto permanecemos no círculo
no plano
.
Passo 5
Juntando tudo isso, percebemos que a curva descrita pela função vetorial é uma hélice cilíndrica. Uma hélice é uma curva tridimensional que enrola em torno de um cilindro. No nosso caso, o cilindro tem raio 1 e está alinhado com o eixo
. Conforme
aumenta, a curva faz uma volta completa ao redor do cilindro a cada aumento de
de
unidades (porque o período das funções seno e cosseno aqui é
).
Resposta
A curva
para
é uma hélice cilíndrica de raio 1, que se estende ao longo do eixo
, dando voltas circulares no plano
conforme avança no eixo
.