Determine a derivada das seguintes funções trigonométricas inversas, expressando a aplicação da regra da cadeia, apenas, por meio da notação de Leibniz.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de uma função composta do tipo função trigonométrica inversa (arctg) aplicada a uma combinação de exponencial e logaritmo. Vamos usar a regra da cadeia em notação de Leibniz para resolver.
Passo 2
Definimos uma função intermediária para facilitar a aplicação da regra da cadeia: seja
. Assim, podemos escrever .
Passo 3
Calculamos primeiro
. Sabemos que a derivada de em relação a
é
. Logo,
Passo 4
Em seguida, calculamos
. Temos duas parcelas em
:
- A derivada de
é , pois usamos a regra da cadeia interna em . - A derivada de
é .
Portanto,
Passo 5
Por fim, aplicamos a regra da cadeia em notação de Leibniz:
Passo 6
Substituindo as derivadas parciais que encontramos, obtemos a derivada final.