Determine a derivada das seguintes funções trigonométricas inversas, expressando a aplicação da regra da cadeia, apenas, por meio da notação de Leibniz.
y=arctg(e^x^2+ln (x+1))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função composta do tipo função trigonométrica inversa (arctg) aplicada a uma combinação de exponencial e logaritmo. Vamos usar a regra da cadeia em notação de Leibniz para resolver.

Passo 2

Definimos uma função intermediária para facilitar a aplicação da regra da cadeia: seja u = e^x^2 + ln(x+1). Assim, podemos escrever .

Passo 3

Calculamos primeiro dfracdydu. Sabemos que a derivada de em relação a arctg(u) é u. Logo,
1/(1+u^2)

Passo 4

Em seguida, calculamos dfracdudx. Temos duas parcelas em u:
  • A derivada de e^x^2 é e^x^2 cdot 2x, pois usamos a regra da cadeia interna em x^2.
  • A derivada de ln(x+1) é 1/(x+1).
    Portanto,
dudx = 2x,e^x^2 + 1x+1

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra da cadeia em notação de Leibniz:
dydx = dydu cdot dudx

Passo 6

Substituindo as derivadas parciais que encontramos, obtemos a derivada final.

Resposta

dydx = 2x,e^x^2 + tfrac1x+11 + l(e^x^2 + ln(x+1)r)^2

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