Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0. A função vetorial dada é:
Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso. Vamos dividir a função em duas partes e calcular o limite de cada componente separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $ é uma função que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ t $. Ou seja:
Passo 3
Agora, multiplicamos todos os termos pela parte que depende de $ t $:
Queremos saber o que acontece com essa expressão quando $ t $ se aproxima de 0.
Passo 4
Lembrando que, para pequenos valores de $ t $, $ \sin(t) $ é aproximadamente igual a $ t $. Então, podemos aproximar $ \sin^{2}(t) \approx t^{2} $. Substituindo na expressão:
Passo 5
Assim, temos que:
E sabemos que $ \lim_{t \to 0} t = 0 $. Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda componente da função vetorial:
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador por $ t^{3} $:
Passo 7
Agora, vamos analisar cada termo separadamente:
- $ \lim_{t \to 0} 9 = 9 $
- $ \lim_{t \to 0} \frac{6}{t^{2}} = +\infty $ (já que $ t^{2} $ se aproxima de 0, tornando a fração muito grande)
- $ \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin(3 t)}{t^{3}} $
Para o terceiro termo, usamos o fato de que $ \sin(3t) \approx 3t $ quando $ t $ é próximo de 0:
Então:
Passo 8
Combinando os limites dos três termos, temos:
Isso é uma forma indeterminada (pois infinito menos infinito não é definido), mas observando os termos mais dominantes, vemos que ambos os termos que tendem ao infinito se cancelam, deixando apenas o termo constante: