Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de uma função vetorial quando $ t $ se aproxima de 0. A função vetorial dada é:
t
Vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso. Vamos dividir a função em duas partes e calcular o limite de cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função vetorial:
t^3sin^2(t) cdot sin(1t^2)
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $ é uma função que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ t $. Ou seja:
sin(1t^2)

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os termos pela parte que depende de $ t $:
t
Queremos saber o que acontece com essa expressão quando $ t $ se aproxima de 0.

Passo 4

Lembrando que, para pequenos valores de $ t $, $ \sin(t) $ é aproximadamente igual a $ t $. Então, podemos aproximar $ \sin^{2}(t) \approx t^{2} $. Substituindo na expressão:
t

Passo 5

Assim, temos que:
- t <= t^3sin^2(t) cdot sin(1t^2) <= t
E sabemos que $ \lim_{t \to 0} t = 0 $. Pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
limt to 0 t = 0

Passo 6

Agora, vamos para a segunda componente da função vetorial:
9 t^3-6 t+2 sin(3 t)t^3
Vamos simplificar essa expressão dividindo cada termo no numerador por $ t^{3} $:
t^3

Passo 7

Agora, vamos analisar cada termo separadamente:
  1. $ \lim_{t \to 0} 9 = 9 $
  2. $ \lim_{t \to 0} \frac{6}{t^{2}} = +\infty $ (já que $ t^{2} $ se aproxima de 0, tornando a fração muito grande)
  3. $ \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin(3 t)}{t^{3}} $
Para o terceiro termo, usamos o fato de que $ \sin(3t) \approx 3t $ quando $ t $ é próximo de 0:
limt to 0 9 = 9
Então:
limt to 0 6t^2 = +infty

Passo 8

Combinando os limites dos três termos, temos:
9 - infty + infty
Isso é uma forma indeterminada (pois infinito menos infinito não é definido), mas observando os termos mais dominantes, vemos que ambos os termos que tendem ao infinito se cancelam, deixando apenas o termo constante:
limt to 0 9 t^3-6 t+2 sin(3 t)t^3 = 9

Resposta

lim t 0(t^3sin^2(t) cdot sin(1t^2), 9 t^3-6 t+2 sin(3 t)t^3) = (0, 9)

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