Calcular os limites das seguintes funções vetoriais de uma variável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de duas funções vetoriais quando $ t $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente de limites de funções. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites e aplicar algumas técnicas como substituição e, se necessário, a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente do vetor: $ \left( \frac{\pi}{2} - t \right) \tan t $. Queremos saber o que acontece com essa expressão quando $ t $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Sabemos que $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $. Quando $ t $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $, $ \cos t $ se aproxima de 0, o que faz com que $ \tan t $ tenda ao infinito positivo ou negativo, dependendo de como $ t $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 4

No entanto, temos o fator $ \left( \frac{\pi}{2} - t \right) $ multiplicando $ \tan t $. Vamos substituir $ t = \frac{\pi}{2} - h $, onde $ h $ tende a 0. Então:
( pi2 - t )

Passo 5

Sabemos que quando $ h $ tende a 0, $ \sin h \approx h $ e $ \cos h \approx 1 $. Então:
h
Portanto, a primeira componente tende a 1.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda componente: $ \frac{1 - \sin t}{\left( \frac{\pi}{2} - t \right)^2} $. Queremos calcular o limite dessa expressão quando $ t $ se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 7

Novamente, vamos fazer a substituição $ t = \frac{\pi}{2} - h $, onde $ h $ tende a 0. Então:
t = pi2 - h

Passo 8

Sabemos que $ 1 - \cos h \approx \frac{h^2}{2} $ quando $ h $ tende a 0. Substituindo isso na expressão:
1 - cos h approx h^22
Portanto, a segunda componente tende a $ \frac{1}{2} $.

Resposta

O limite da função vetorial é $ \left(1, \frac{1}{2}\right) $.

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