Calcular os limites seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo principal envolve limites em variáveis polares e comportamento de logaritmo perto de zero.
Passo 2
Para explorar a simetria radial, vamos usar coordenadas polares, definindo x=r cosθ e y=r sinθ. Assim, x²+y²=r² e o limite passa a depender só de r→0⁺.
Passo 3
Substituindo em f(x,y)=ln(x²+y²)/(x²+y²) temos f®=ln(r²)/r². Aproveitamos que ln(r²)=2 ln r para simplificar a expressão.
Passo 4
Precisamos estudar lim_{r→0⁺} 2 ln r / r². Note que ln r → -∞ e r²→0⁺. Para ver o crescimento, tomamos t=1/r², logo r²=1/t e ln r=-(1/2) ln t.
Passo 5
Com essa troca, a expressão vira 2 · [-(1/2) ln t] / (1/t) = -t ln t. Como t→+∞, temos t ln t→+∞ e, portanto, -t ln t→-∞.
Passo 6
Concluímos que o limite diverge para -∞, ou seja, não existe um valor finito e a expressão tende a menos infinito.
Resposta
-\infty