Calcular os limites seguintes:
lim (x, y) (0,0) ln (x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(0,0). O conteúdo principal envolve limites em variáveis polares e comportamento de logaritmo perto de zero.

Passo 2

Para explorar a simetria radial, vamos usar coordenadas polares, definindo x=r cosθ e y=r sinθ. Assim, x²+y²=r² e o limite passa a depender só de r→0⁺.

Passo 3

Substituindo em f(x,y)=ln(x²+y²)/(x²+y²) temos f®=ln(r²)/r². Aproveitamos que ln(r²)=2 ln r para simplificar a expressão.

Passo 4

Precisamos estudar lim_{r→0⁺} 2 ln r / r². Note que ln r → -∞ e r²→0⁺. Para ver o crescimento, tomamos t=1/r², logo r²=1/t e ln r=-(1/2) ln t.

Passo 5

Com essa troca, a expressão vira 2 · [-(1/2) ln t] / (1/t) = -t ln t. Como t→+∞, temos t ln t→+∞ e, portanto, -t ln t→-∞.

Passo 6

Concluímos que o limite diverge para -∞, ou seja, não existe um valor finito e a expressão tende a menos infinito.

Resposta

-\infty

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