Calcular os limites seguintes:
lim y 1 x^2+3 y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limyto1x^2+3y^2x^2+y^2
onde x é tratado como parâmetro constante. O conteúdo da matéria é limite e continuidade de funções de duas variáveis, mas como o limite é só em y, usamos continuidade em y.

Passo 2

Verificamos se o denominador x^2+y^2 é diferente de zero quando yto1. Como
x^2+1^2=x^2+1>0
para todo xinR, não há indeterminação nem descontinuidade na vizinhança de y=1.

Passo 3

Pela continuidade da função em y, podemos simplesmente substituir y=1 na expressão para obter o limite:

Passo 4

Substituindo y=1 em x^2+3y^2x^2+y^2 vem
x^2+3cdot1^2x^2+1^2 =x^2+3x^2+1

Resposta

limyto1x^2+3y^2x^2+y^2 =x^2+3x^2+1

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