Calcule a integral
.
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo triplo juntos. A gente precisa calcular a integral
. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e integração múltipla, e para facilitar, vamos utilizar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Os limites de
vão de
a
. Para cada
,
varia de
a
, o que descreve um círculo de raio 2 no plano
. Já para cada par
,
varia de
até
. Isso significa que estamos olhando para a parte de um cilindro de raio 2 e altura 2, acima de um cone definido por
.
Passo 3
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
Nessa mudança, a expressão
se torna
, e o elemento de volume
passa a ser
.
Passo 4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para coordenadas cilíndricas:
-
varia de a (o raio do cilindro). -
varia de a (uma volta completa no círculo). -
varia de até (do cone até a altura máxima do cilindro).
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral é igual a $ \dfrac{16\pi}{5} $.