Calcule a integral integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4 x^2 integralraizy^2+x^2^2(x^2+y^2) d z d y d x.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo triplo juntos. A gente precisa calcular a integral integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integralraizy^2+x^2^2(x^2+y^2) , dz , dy , dx. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e integração múltipla, e para facilitar, vamos utilizar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Os limites de x vão de -2 a 2. Para cada x, y varia de -raiz4 - x^2 a raiz4 - x^2, o que descreve um círculo de raio 2 no plano xy. Já para cada par (x, y), z varia de raizx^2 + y^2 até 2. Isso significa que estamos olhando para a parte de um cilindro de raio 2 e altura 2, acima de um cone definido por z = raizx^2 + y^2.

Passo 3

Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
Nessa mudança, a expressão x^2 + y^2 se torna r^2, e o elemento de volume dV passa a ser r , dz , dr , dtheta.

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para coordenadas cilíndricas:
  • r varia de 0 a 2 (o raio do cilindro).
  • theta varia de 0 a 2pi (uma volta completa no círculo).
  • z varia de r até 2 (do cone até a altura máxima do cilindro).

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^2 cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 integralr^2 r^3 , dz , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^2 r^3 , dz = r^3 (2 - r)
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 r^3 (2 - r) , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r:
integral0^2 (2r^3 - r^4) , dr = [ 24 r^4 - 15 r^5 ]0^2 = ( 12 cdot 16 - 15 cdot 32 ) = 8 - 325 = 40 - 325 = 85
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 85 , dtheta = 85 cdot 2pi = 16pi5

Resposta

A integral é igual a $ \dfrac{16\pi}{5} $.

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