Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A expressão a ser estudada é a função racional
. - O ponto onde a variável se aproxima é
. - Observação útil (apenas informação): ao substituir
diretamente, o numerador fica e o denominador fica , então a forma direta é do tipo (indeterminação).
Passo 2
O que significa a indeterminação
e como a resolver de forma clássica (sem pular etapas):
- Quando uma expressão do tipo
aparece ao substituir o ponto no limite, isso indica que a expressão pode ter um fator comum que zera tanto numerador quanto denominador; é preciso tentar simplificar algebricamente a expressão para remover essa causa de indeterminação. - Uma técnica comum e básica é fatorar o polinômio do denominador e ver se o fator
aparece (porque o numerador já é ). Se aparecer, dá para cancelar e então avaliar o limite do quociente simplificado.
Passo 3
Lembra da fórmula de soma de cubos — é uma ferramenta que frequentemente aparece em provas:
Aqui podemos aplicar com
e
. Substituindo na fórmula:
Isso é só aplicação direta da identidade; cada termo foi obtido substituindo
por
e
por
.
Passo 4
Agora reescrevemos a função original usando essa fatoração do denominador:
Desde que
(situação relevante para o limite, pois estamos apenas nos aproximando de
, não avaliando o valor no ponto), podemos simplificar cancelando o fator comum
:
Explicando didaticamente: o cancelamento é válido para as pontos onde a expressão original e a simplificada coincidem (todas as
diferentes de
). Para calcular o limite, só precisamos da expressão simplificada em uma vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então é perfeitamente correto usar a forma simplificada.
Passo 5
Agora usamos o fato de que a função racional simplificada
é contínua em
(denominador não nulo ali), então o limite pode ser obtido substituindo
diretamente na expressão simplificada. Isso é um princípio básico: se
é contínua em
, então
.
Passo 6
Avaliação direta da expressão simplificada em
. Primeiro calculamos o polinômio do denominador passo a passo:
Somando:
Então a expressão simplificada no ponto vale
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova:
- O limite original existe e vale
. - Dica rápida: ao ver
com um numerador linear como e denominador cúbico com , pensar imediatamente em fatorar soma de cubos costuma ser a maneira mais rápida em prova (alternativa: usar regra de L’Hôpital, mas fatorar é mais direto e não exige derivadas se a fatoração é simples).