Calcule:
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{x^{3}+27}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -3}\frac{x+3}{x^{3}+27}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão a ser estudada é a função racional \dfrac{x+3}{x^{3}+27}.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=-3.
  • Observação útil (apenas informação): ao substituir x=-3 diretamente, o numerador fica -3+3=0 e o denominador fica (-3)^{3}+27=-27+27=0, então a forma direta é do tipo \dfrac{0}{0} (indeterminação).

Passo 2

O que significa a indeterminação \dfrac{0}{0} e como a resolver de forma clássica (sem pular etapas):
  • Quando uma expressão do tipo \dfrac{0}{0} aparece ao substituir o ponto no limite, isso indica que a expressão pode ter um fator comum que zera tanto numerador quanto denominador; é preciso tentar simplificar algebricamente a expressão para remover essa causa de indeterminação.
  • Uma técnica comum e básica é fatorar o polinômio do denominador e ver se o fator (x+3) aparece (porque o numerador já é x+3). Se aparecer, dá para cancelar e então avaliar o limite do quociente simplificado.

Passo 3

Lembra da fórmula de soma de cubos — é uma ferramenta que frequentemente aparece em provas:
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Aqui podemos aplicar com a=x e b=3. Substituindo na fórmula:
x^{3}+27 = x^{3}+3^{3}=(x+3)\bigl(x^{2}-3x+9\bigr).
Isso é só aplicação direta da identidade; cada termo foi obtido substituindo a por x e b por 3.

Passo 4

Agora reescrevemos a função original usando essa fatoração do denominador:
\frac{x+3}{x^{3}+27}=\frac{x+3}{(x+3)\bigl(x^{2}-3x+9\bigr)}.
Desde que x\neq -3 (situação relevante para o limite, pois estamos apenas nos aproximando de -3, não avaliando o valor no ponto), podemos simplificar cancelando o fator comum x+3:
\frac{x+3}{(x+3)\bigl(x^{2}-3x+9\bigr)}=\frac{1}{x^{2}-3x+9},\qquad \text{para }x\neq -3.
Explicando didaticamente: o cancelamento é válido para as pontos onde a expressão original e a simplificada coincidem (todas as x diferentes de -3). Para calcular o limite, só precisamos da expressão simplificada em uma vizinhança de -3 (exceto possivelmente em -3), então é perfeitamente correto usar a forma simplificada.

Passo 5

Agora usamos o fato de que a função racional simplificada \dfrac{1}{x^{2}-3x+9} é contínua em x=-3 (denominador não nulo ali), então o limite pode ser obtido substituindo x=-3 diretamente na expressão simplificada. Isso é um princípio básico: se g(x) é contínua em a, então \lim_{x\to a} g(x)=g(a).

Passo 6

Avaliação direta da expressão simplificada em x=-3. Primeiro calculamos o polinômio do denominador passo a passo:
x^{2}-3x+9 \quad\text{em}\quad x=-3:
(-3)^{2}-3\cdot(-3)+9 = 9 + 9 + 9.
Somando:
9+9+9=27.
Então a expressão simplificada no ponto vale
\frac{1}{x^{2}-3x+9}\Big|_{x=-3}=\frac{1}{27}.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova:
  • O limite original existe e vale \dfrac{1}{27}.
  • Dica rápida: ao ver \dfrac{0}{0} com um numerador linear como x+3 e denominador cúbico com +27, pensar imediatamente em fatorar soma de cubos costuma ser a maneira mais rápida em prova (alternativa: usar regra de L’Hôpital, mas fatorar é mais direto e não exige derivadas se a fatoração é simples).

Resposta

\dfrac{1}{27}

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