Calcular os limites seguintes:
lim x 0^-(11-e^x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^-l(tfrac11-e^xr)^x^2. Isso é um problema de limites com forma indeterminada infty^0. Vamos usar propriedades de logaritmo e expansão em série para resolver.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento da base e do expoente separadamente. Para xto0^-:
1-e^xapprox-(x+tfracx^22+cdots)=-xl(1+tfrac x2+cdotsr), que é positivo e tende a 0, logo
tfrac11-e^xto+infty.
O expoente x^2 tende a 0. Portanto temos a forma indeterminada infty^0.

Passo 3

Para contornar essa indeterminação, escrevemos a expressão como uma exponencial:
limxto0^-l(tfrac11-e^xr)^x^2 = expl(limxto0^- x^2lnl(tfrac11-e^xr)r)
Definimos
L = limxto0^- x^2lnl(tfrac11-e^xr) = limxto0^-l(-x^2ln(1-e^x)r)

Passo 4

Agora fazemos a expansão de ln(1-e^x) para x pequeno. Sabendo que
e^x = 1 + x + tfracx^22 + O(x^3), temos
1 - e^x = -x - tfracx^22 + O(x^3) = -xl(1 + tfrac x2 + O(x^2)r)
Logo
ln(1-e^x) = lnl(-xr) + lnl(1 + tfrac x2 + O(x^2)r) = ln(-x) + tfrac x2 + O(x^2)

Passo 5

Substituindo na expressão de L:
L = limxto0^-l(-x^2[ln(-x) + tfrac x2 + O(x^2)]r) = limxto0^-l(-x^2ln(-x) - tfracx^32 + O(x^4)r)
Sabemos que x^2ln(-x)to0 quando xto0^- (pois x^2 domina ln(-x)). Logo
L = 0.

Passo 6

Concluímos que o expoente da exponencial tende a zero, e portanto
limxto0^-l(tfrac11-e^xr)^x^2 = exp(0) = 1

Resposta

1

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