Verifique que o teorema da divergência é verdadeiro para o campo F=2 z i+x j+y k, onde E é formado pelo parabolóide z=4-x^2-y^2 e pelo plano xy .
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(I = 0 m³, Luana Cunha)

Passo 1

O enunciado pede para verificar o teorema da divergência para o campo vec F=2z,vec i + x,vec j + y,vec k na região E limitada pelo paraboloide z=4-x^2-y^2 e pelo plano z=0. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que diz que a integral de fluxo de vec F na fronteira de E é igual à integral tripla de nablacdotvec F sobre E. Vamos precisar calcular nablacdotvec F, a integral tripla e o fluxo nas duas superfícies que compõem partial E.

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F usando nablacdotvec F=partialpartial x(2z)+partialpartial y(x)+partialpartial z(y). Como 2z não depende de x, x não depende de y e y não depende de z, encontramos
nablacdotvec F=0+0+0=0

Passo 3

Para o lado direito do teorema, fazemos
integral triplaE(nablacdotvec F),dV=integral triplaE0,dV=0

Passo 4

Agora calculamos o fluxo na superfície superior S1, o paraboloide z=4-x^2-y^2. Ainda que pudéssemos usar parametrização vetorial, é mais simples usar a forma
vec n,dS=(-zx,-zy,1),dA
com zx=-2x e zy=-2y. Então
vec n,dS=(2x,2y,1),dA
Em cada ponto vec F=(2z,x,y)=(2(4-r^2),rcostheta,rsintheta). Logo
vec Fcdotvec n=(8-2r^2)cdot2rcostheta + (rcostheta)cdot2rsintheta + (rsintheta)cdot1
Passando para coordenadas cilíndricas e integrando em rin[0,2],,thetain[0,2pi], cada termo com costheta ou sintheta dá zero. Então o fluxo em S1 é zero.

Passo 5

Para a superfície inferior S2, o disco z=0 com normal saída vec n=(0,0,-1), temos vec F=(0,x,y) em z=0, de modo que
vec Fcdotvec n=-(y)
Em coordenadas cilíndricas isso vira -rsintheta) e o elemento de área é r,dr,dtheta. Integrando em rin[0,2] e thetain[0,2pi] novamente dá zero, pois sintheta se anula.

Passo 6

Somando os fluxos nas duas superfícies obtemos 0+0=0, que coincide com a integral tripla de nablacdotvec F. Portanto o teorema da divergência está confirmado para este campo e esta região.

Resposta

Os dois lados da igualdade são iguais a zero, logo o teorema da divergência é verificado.

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