Verifique que o teorema da divergência é verdadeiro para o campo
, onde E é formado pelo parabolóide
e pelo plano xy .
[
(I = 0 m³, Luana Cunha)
(I = 0 m³, Luana Cunha)
Passo 1
O enunciado pede para verificar o teorema da divergência para o campo
na região
limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que diz que a integral de fluxo de
na fronteira de
é igual à integral tripla de
sobre
. Vamos precisar calcular
, a integral tripla e o fluxo nas duas superfícies que compõem
.
Passo 2
Calculamos a divergência de
usando
. Como
não depende de
,
não depende de
e
não depende de
, encontramos
Passo 3
Para o lado direito do teorema, fazemos
Passo 4
Agora calculamos o fluxo na superfície superior
, o paraboloide
. Ainda que pudéssemos usar parametrização vetorial, é mais simples usar a forma
com
Em cada ponto
. Logo
Passando para coordenadas cilíndricas e integrando em
Passo 5
Para a superfície inferior
, o disco
com normal saída
, temos
em
, de modo que
Em coordenadas cilíndricas isso vira
Passo 6
Somando os fluxos nas duas superfícies obtemos
, que coincide com a integral tripla de
. Portanto o teorema da divergência está confirmado para este campo e esta região.
Resposta
Os dois lados da igualdade são iguais a zero, logo o teorema da divergência é verificado.