Calcular os limites seguintes:
lim x 0(1+x)^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0(1+x)^1/x. O conteúdo envolve limites de funções e vamos precisar usar propriedades de logaritmo e a regra de l’Hôpital para conseguir resolver.

Passo 2

Definimos y=(1+x)^1/x. Para lidar com a potência variável, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados, ficando
ln y=ln(1+x)x

Passo 3

Agora avaliamos limxto0ln y. Observamos que quando xto0, tanto ln(1+x)to0 quanto xto0, então é forma 0/0 e aplicamos l’Hôpital: derivada do numerador é 1/(1+x) e do denominador é 1. Logo
limxto0ln(1+x)x=limxto01/(1+x)1=1

Passo 4

Como limxto0ln y=1, então limxto0y=e^1=e.

Resposta

e

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