Calcular os seguintes limites:
lim x -infty raizx^2+raiz1-xx+5

Passo 1

O problema pede para calcular o limite limxto-inftyraizx^2+raiz1-xx+5. O conteúdo aqui é análise de limite no infinito envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar lembrar que para x muito grande em módulo, raizx^2=|x| e usar expansão de raiz para quantidades próximas de 1.

Passo 2

Vamos reescrever o numerador isolando x^2 dentro da raiz:
raizx^2+raiz1-x=raizx^2l(1+raiz1-xx^2r)
Como raizx^2=|x|, isso vira
|x|raiz1+raiz1-xx^2

Passo 3

Para x → -∞ temos |x|=-x e o termo raiz1-xx^2 tende a zero. Usamos então a expansão
raiz1+uapprox1+u2(uto0)
Aqui u=raiz1-xx^2, logo
raiz1+raiz1-xx^2approx1+12raiz1-xx^2

Passo 4

Assim o numerador fica
$$-x\Bigl(1+\tfrac{1}{2}\frac{\sqrt{1-x}}{x2}+o(1/x2)\Bigr)= -x -\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1-x}}{x}+o(1/|x|).
-xl(1+tfrac12raiz1-xx^2+o(1/x^2)r)= -x -12raiz1-xx+o(1/|x|) éx+5 = x\Bigl(1+\tfrac{5}{x}\Bigr).$$

Passo 5

Agora montamos o quociente:
raizx^2+raiz1-xx+5 = -xl(1+O(1/|x|)r)xl(1+5/xr) = -1+O(1/|x|)1+5/x
Quando xto-infty, tanto O(1/|x|) quanto 5/x vão a zero, restando -1 como valor do limite.

Resposta

-1

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