Encontre o máximo e o mínimo da função
definida em e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o máximo e o mínimo da função $ f(x, y) = (x-2)^{2} y + y^{2} - y $ no conjunto
, que é definido por $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ x + y \leq 4 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca de pontos críticos e a análise de fronteiras para identificar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro da região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Pontos críticos acontecem quando as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando ambas as derivadas a zero:
Passo 3
Da equação (1), temos duas possibilidades:
- $ x - 2 = 0 $
$ x = 2 $ - $ y = 0 $
Vamos analisar cada caso.
Caso 1: $ x = 2 $
Substituindo $ x = 2 $ na equação (2):
Então, temos um ponto crítico em $ (2, \frac{1}{2}) $.
Caso 2: $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na equação (2):
Portanto, temos dois pontos críticos adicionais: $ (3, 0) $ e $ (1, 0) $.
Passo 4
Agora, precisamos verificar esses pontos críticos para ver se eles estão dentro da região
.
-
Para $ (2, \frac{1}{2}) $:
- $ x = 2 \geq 0 $
- $ y = \frac{1}{2} \geq 0 $
- $ x + y = 2.5 \leq 4 $
Está dentro da região. -
Para $ (3, 0) $:
- $ x = 3 \geq 0 $
- $ y = 0 \geq 0 $
- $ x + y = 3 \leq 4 $
Está dentro da região. -
Para $ (1, 0) $:
- $ x = 1 \geq 0 $
- $ y = 0 \geq 0 $
- $ x + y = 1 \leq 4 $
Está dentro da região.
Passo 5
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os pontos na fronteira da região
, onde $ x = 0 $, $ y = 0 $ ou $ x + y = 4 $.
Vamos analisar cada fronteira separadamente.
1. Quando $ x = 0 $:
A função fica:
Queremos maximizar ou minimizar isso para $ 0 \leq y \leq 4 $.
Derivando em relação a $ y $:
Igualando a zero:
Mas $ y \geq 0 $, então não há ponto crítico nessa borda. Verificamos os extremos:
- $ y = 0 $: $ f(0, 0) = 0 $
- $ y = 4 $: $ f(0, 4) = 4^2 + 3 \times 4 = 16 + 12 = 28 $
2. Quando $ y = 0 $:
A função fica:
Para $ 0 \leq x \leq 4 $, sempre dá zero.
3. Quando $ x + y = 4 $:
Vamos expressar $ y = 4 - x $ e substituí na função:
Simplificando isso:
Agora, para encontrar os extremos, derivamos em relação a $ x $:
Resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aproximadamente, os valores de $ x $ são $ 3 + 1.155 $ e $ 3 - 1.155 $, ou seja, $ x \approx 4.155 $ e $ x \approx 1.845 $.
Como $ x + y = 4 $ e $ x \leq 4 $, apenas $ x \approx 1.845 $ está dentro da nossa região.
Calculando $ f(1.845, 2.155) $:
Para simplificar, vamos considerar os valores nos extremos:
- $ x = 0 $: $ f(0, 4) = 28 $
- $ x = 4 $: $ y = 0 \Rightarrow f(4, 0) = 0 $
- $ x \approx 1.845 $: $ f $ at this point será menor que 28.
Passo 6
Agora, vamos resumir todos os valores que encontramos:
- Ponto interno $ (2, \frac{1}{2}) $: Vamos calcular $ f(2, 0.5) = (0)^2 \times 0.5 + 0.25 - 0.5 = -0.25 $
- Ponto interno $ (3, 0) $: $ f(3, 0) = 0 $
- Ponto interno $ (1, 0) $: $ f(1, 0) = 0 $
- Borda $ x = 0 $: Máximo em $ y = 4 $ com $ f(0, 4) = 28 $
- Borda $ y = 0 $: $ f = 0 $
- Borda $ x + y = 4 $: Máximo em $ x \approx 1.845 $ com $ f \approx 28 $
Resposta
O mínimo da função é
no ponto
e o máximo é
no ponto
.