Encontre o máximo e o mínimo da função f(x, y)=(x-2)^2 y+y^2-y definida em e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o máximo e o mínimo da função $ f(x, y) = (x-2)^{2} y + y^{2} - y $ no conjunto f(x, y) = (x-2)^2 y + y^2 - y , que é definido por $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ x + y \leq 4 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca de pontos críticos e a análise de fronteiras para identificar os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro da região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região Omega. Pontos críticos acontecem quando as derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2(x - 2) y
partial fpartial y = (x - 2)^2 + 2y - 1
Igualando ambas as derivadas a zero:
2(x - 2) y = 0 (1)
(x - 2)^2 + 2y - 1 = 0 (2)

Passo 3

Da equação (1), temos duas possibilidades:
  1. $ x - 2 = 0 $ x - 2 = 0 $ x = 2 $
  2. $ y = 0 $
Vamos analisar cada caso.
Caso 1: $ x = 2 $
Substituindo $ x = 2 $ na equação (2):
Rightarrow
Então, temos um ponto crítico em $ (2, \frac{1}{2}) $.
Caso 2: $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na equação (2):
x = 2
Portanto, temos dois pontos críticos adicionais: $ (3, 0) $ e $ (1, 0) $.

Passo 4

Agora, precisamos verificar esses pontos críticos para ver se eles estão dentro da região Omega.
  • Para $ (2, \frac{1}{2}) $:
    • $ x = 2 \geq 0 $
    • $ y = \frac{1}{2} \geq 0 $
    • $ x + y = 2.5 \leq 4 $
    Está dentro da região.
  • Para $ (3, 0) $:
    • $ x = 3 \geq 0 $
    • $ y = 0 \geq 0 $
    • $ x + y = 3 \leq 4 $
    Está dentro da região.
  • Para $ (1, 0) $:
    • $ x = 1 \geq 0 $
    • $ y = 0 \geq 0 $
    • $ x + y = 1 \leq 4 $
    Está dentro da região.

Passo 5

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os pontos na fronteira da região Omega, onde $ x = 0 $, $ y = 0 $ ou $ x + y = 4 $.
Vamos analisar cada fronteira separadamente.
1. Quando $ x = 0 $:
A função fica:
x = 0
Queremos maximizar ou minimizar isso para $ 0 \leq y \leq 4 $.
Derivando em relação a $ y $:
y = 0
Igualando a zero:
x + y = 4
Mas $ y \geq 0 $, então não há ponto crítico nessa borda. Verificamos os extremos:
  • $ y = 0 $: $ f(0, 0) = 0 $
  • $ y = 4 $: $ f(0, 4) = 4^2 + 3 \times 4 = 16 + 12 = 28 $
2. Quando $ y = 0 $:
A função fica:
x = 0
Para $ 0 \leq x \leq 4 $, sempre dá zero.
3. Quando $ x + y = 4 $:
Vamos expressar $ y = 4 - x $ e substituí na função:
f(0, y) = (0 - 2)^2 y + y^2 - y = 4y + y^2 - y = y^2 + 3y
Simplificando isso:
0 <= y <= 4
y
dfdy = 2y + 3
Agora, para encontrar os extremos, derivamos em relação a $ x $:
2y + 3 = 0 Rightarrow y = -32
Resolvendo $ f’(x) = 0 $:
y >= 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = 0
Aproximadamente, os valores de $ x $ são $ 3 + 1.155 $ e $ 3 - 1.155 $, ou seja, $ x \approx 4.155 $ e $ x \approx 1.845 $.
Como $ x + y = 4 $ e $ x \leq 4 $, apenas $ x \approx 1.845 $ está dentro da nossa região.
Calculando $ f(1.845, 2.155) $:
f(0, 0) = 0
Para simplificar, vamos considerar os valores nos extremos:
  • $ x = 0 $: $ f(0, 4) = 28 $
  • $ x = 4 $: $ y = 0 \Rightarrow f(4, 0) = 0 $
  • $ x \approx 1.845 $: $ f $ at this point será menor que 28.

Passo 6

Agora, vamos resumir todos os valores que encontramos:
  • Ponto interno $ (2, \frac{1}{2}) $: Vamos calcular $ f(2, 0.5) = (0)^2 \times 0.5 + 0.25 - 0.5 = -0.25 $
  • Ponto interno $ (3, 0) $: $ f(3, 0) = 0 $
  • Ponto interno $ (1, 0) $: $ f(1, 0) = 0 $
  • Borda $ x = 0 $: Máximo em $ y = 4 $ com $ f(0, 4) = 28 $
  • Borda $ y = 0 $: $ f = 0 $
  • Borda $ x + y = 4 $: Máximo em $ x \approx 1.845 $ com $ f \approx 28 $

Resposta

O mínimo da função é -0,25 no ponto (2, 12) e o máximo é 28 no ponto (0, 4).

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