Calcular os limites seguintes:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \operatorname{sen} \frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\,\operatorname{sen}\frac{1}{y}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função considerada é f(x,y)=x\sin\frac{1}{y} (a notação \operatorname{sen} é a mesma de \sin); tecnicamente \sin\frac{1}{y} não está definida quando y=0, então a expressão só faz sentido para pontos com y\neq0.
  • O ponto ao qual nos aproximamos é (0,0). Para o limite em multivariáveis não é necessário que a função esteja definida no ponto, apenas o comportamento ao se aproximar dele.
  • Vamos usar uma estimativa simples sobre \sin para controlar o produto oscilante x\sin\frac{1}{y}.

Passo 2

Propriedade básica da função seno (aula rápida): para todo número real t vale
|\sin t|\le 1.
Isto vem da definição geométrica/analítica do seno — seus valores ficam entre -1 e 1. Aplicando essa desigualdade com t=\frac{1}{y} (sempre que y\neq0) obtemos
\left|\sin\frac{1}{y}\right|\le 1.
Multiplicando por |x| (que é não negativo) temos
\left|x\sin\frac{1}{y}\right|\le |x|.

Passo 3

Interpretação da desigualdade e Teorema do Confronto (Squeeze): a desigualdade acima implica, mais fortemente,
-|x| \le x\sin\frac{1}{y} \le |x|.
Agora, quando (x,y)\to(0,0) sabemos que x\to 0. Em termos da norma euclidiana, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 então em particular
|x|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0.
Portanto as funções limitantes -|x| e |x| tendem ambas a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto: como -|x| e |x| têm limite 0 em (0,0) e x\sin\frac{1}{y} está “confinado” entre elas, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sin\frac{1}{y}=0.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta curta (opcional, para ficar bem rigoroso): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon. Usando \left|x\sin\frac{1}{y}\right|\le|x| segue \left|x\sin\frac{1}{y}\right|<\varepsilon. Isso mostra a convergência desejada.

Resposta

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