Descreva as seguintes composições na forma f(g(x)) e calcule as suas funções derivadas: \sin ^{2}(x)
Passo 1
O que o enunciado pede: descrever a função \sin^{2}(x) na forma f(g(x)) (ou seja, identificar a função exterior f e a função interior g) e calcular a derivada dessa composição.
Informações fornecidas: a expressão \sin^{2}(x) (que é o mesmo que (\sin x)^{2}).
Perguntas a responder: (1) escrever \sin^{2}(x) como f(g(x)); (2) calcular \dfrac{d}{dx}\sin^{2}(x).
Passo 2
Escolhendo a decomposição em composição: a expressão (\sin x)^{2} mostra uma função sendo aplicada e depois elevada ao quadrado. Então faz sentido tomar a função interior g como a função seno e a função exterior f como a função “elevar ao quadrado”. Formalmente:
g(x)=\sin x,
f(u)=u^{2}.
Com isso,
f(g(x))=(\sin x)^{2}=\sin^{2}(x).
Passo 3
Regra da cadeia (ferramenta para derivar composições): se h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento (chame-o de u), e g' é a derivada de g em relação a x. A ideia intuitiva: a taxa de variação total é a taxa de variação da parte exterior avaliada na parte interior vezes a taxa de variação da parte interior.
Passo 4
Calculando as derivadas das partes separadamente:
Para f(u)=u^{2}, usamos a regra do poder (power rule): para u^{n} temos \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Então
f'(u)=2u.
Para g(x)=\sin x, sabemos que a derivada do seno é o cosseno:
g'(x)=\cos x.
Essas duas derivadas são as que entrarem na regra da cadeia.