Descreva as seguintes composições na forma f(g(x)) e calcule as suas funções derivadas:
\sin ^{2}(x)

Passo 1

O que o enunciado pede: descrever a função \sin^{2}(x) na forma f(g(x)) (ou seja, identificar a função exterior f e a função interior g) e calcular a derivada dessa composição.
Informações fornecidas: a expressão \sin^{2}(x) (que é o mesmo que (\sin x)^{2}).
Perguntas a responder: (1) escrever \sin^{2}(x) como f(g(x)); (2) calcular \dfrac{d}{dx}\sin^{2}(x).

Passo 2

Escolhendo a decomposição em composição: a expressão (\sin x)^{2} mostra uma função sendo aplicada e depois elevada ao quadrado. Então faz sentido tomar a função interior g como a função seno e a função exterior f como a função “elevar ao quadrado”. Formalmente:
g(x)=\sin x,
f(u)=u^{2}.
Com isso,
f(g(x))=(\sin x)^{2}=\sin^{2}(x).

Passo 3

Regra da cadeia (ferramenta para derivar composições): se h(x)=f(g(x)), então
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento (chame-o de u), e g' é a derivada de g em relação a x. A ideia intuitiva: a taxa de variação total é a taxa de variação da parte exterior avaliada na parte interior vezes a taxa de variação da parte interior.

Passo 4

Calculando as derivadas das partes separadamente:
  • Para f(u)=u^{2}, usamos a regra do poder (power rule): para u^{n} temos \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Então
f'(u)=2u.
  • Para g(x)=\sin x, sabemos que a derivada do seno é o cosseno:
g'(x)=\cos x.
Essas duas derivadas são as que entrarem na regra da cadeia.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sin^{2}(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Substituindo f'(u)=2u com u=g(x)=\sin x e g'(x)=\cos x, obtemos
\frac{d}{dx}\sin^{2}(x)=2\sin x\cdot\cos x.
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Portanto uma forma alternativa e compacta da derivada é
\frac{d}{dx}\sin^{2}(x)=\sin(2x).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: calcule a derivada em x=\dfrac{\pi}{6}.
Usando 2\sin x\cos x,
\frac{d}{dx}\sin^{2}(x)\Big|_{x=\pi/6}=2\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) =2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Isso confirma que tanto 2\sin x\cos x quanto \sin(2x) dão o mesmo valor.

Resposta

f(u)=u^{2},\\ g(x)=\sin x\Rightarrow f(g(x))=\sin^{2}(x)\n
\dfrac{d}{dx}\sin^{2}(x)=2\sin x\cos x=\sin(2x)

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