Sejam
duas funções de uma variável real a valores em
e
uma função de uma variável real
a valores reais. Suponha que
e
, em que
, e
real. Prove:
.
a valores reais. Suponha que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- São dadas duas funções vetoriais de uma variável real em
: e . - Foi informado que
e . - Também é dada uma função escalar
e , mas essa função não será necessária para a demonstração pedida. - O que o problema pede: provar que, quando
,
- Observação importante: a notação
aqui é o produto vetorial (cross product) em , que só está bem definido para .
Passo 2
O que é o produto vetorial e como calculá-lo (a parte técnica e concreta que usaremos): para dois vetores genéricos
e
em
,
o produto vetorial tem componentes dadas por
o produto vetorial
Explico devagar: cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos de componentes escalares de
e
. Ou seja, cada componente é uma combinação de somas, subtrações e multiplicações de coordenadas escalares.
Passo 3
Regra fundamental de limites escalares que vamos usar (lembrando como se faz na prova): se
e
são funções reais tais que
e
, então valem
-
(limite da soma), -
(limite da diferença), -
(limite do produto), -
para constante (multiplicação por escalar).
Essas regras são usadas sem calculadora e são básicas: produto e soma preservam limites quando os limites individuais existem.
Passo 4
Ligando vetores e componentes: limite de função vetorial significa limite componente a componente. Ou seja,
equivale a dizer que, para cada
,
e análogamente
. Isso é óbvio e fundamental: coordenadas convergem separadamente.
Passo 5
Aplicando tudo à primeira componente do produto vetorial
:
a primeira componente é
a primeira componente é
Agora tomo limite em ambos os termos usando as regras de limite da Passo 3 e a Passo 4:
Subtraindo (regra da diferença),
Portanto a primeira componente do limite do produto vetorial é
, que é exatamente a primeira componente de
.
Passo 6
Fazemos a mesma coisa para a segunda componente. A segunda componente de
é
Tomando limites:
logo
que é a segunda componente de
.
Passo 7
Para a terceira componente repetimos o padrão. A terceira componente de
é
Tomando limites:
logo
que é a terceira componente de
.
Passo 8
Juntando as três componentes que já mostramos convergentes para as componentes correspondentes de
, concluímos que o vetor inteiro converge:
Intuitivamente: como cada componente do produto vetorial é feita por somas, subtrações e produtos das componentes de
e
, e limites preservam essas operações, o limite do produto vetorial é o produto vetorial dos limites.