Sejam \vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right), \vec{G}=\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right) duas funções de uma variável real a valores em \mathbb{R}^{n} e f uma função de uma variável real
a valores reais. Suponha que \vec{F}(t)=\vec{a} \lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{G}(t)=\vec{b} e \lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=L, em que \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right), e L real. Prove:
\lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{F}(t) \wedge \vec{G}(t)=\vec{a} \wedge \vec{b}(n=3).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • São dadas duas funções vetoriais de uma variável real em \mathbb{R}^{n}: \vec{F}=(F_{1},F_{2},\ldots,F_{n}) e \vec{G}=(G_{1},G_{2},\ldots,G_{n}).
  • Foi informado que \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\vec{F}(t)=\vec{a}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}) e \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\vec{G}(t)=\vec{b}=(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}).
  • Também é dada uma função escalar f e \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} f(t)=L, mas essa função não será necessária para a demonstração pedida.
  • O que o problema pede: provar que, quando n=3,
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(\vec{F}(t)\wedge \vec{G}(t)\bigr)=\vec{a}\wedge \vec{b}.
  • Observação importante: a notação \wedge aqui é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^{3}, que só está bem definido para n=3.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculá-lo (a parte técnica e concreta que usaremos): para dois vetores genéricos
\vec{X}=(X_{1},X_{2},X_{3}) e \vec{Y}=(Y_{1},Y_{2},Y_{3}) em \mathbb{R}^{3},
o produto vetorial \vec{X}\wedge\vec{Y} tem componentes dadas por
\vec{X}\wedge\vec{Y}=\bigl(X_{2}Y_{3}-X_{3}Y_{2},\; X_{3}Y_{1}-X_{1}Y_{3},\; X_{1}Y_{2}-X_{2}Y_{1}\bigr).
Explico devagar: cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos de componentes escalares de \vec{X} e \vec{Y}. Ou seja, cada componente é uma combinação de somas, subtrações e multiplicações de coordenadas escalares.

Passo 3

Regra fundamental de limites escalares que vamos usar (lembrando como se faz na prova): se u(t) e v(t) são funções reais tais que \lim_{t\to t_{0}} u(t)=U e \lim_{t\to t_{0}} v(t)=V, então valem
  • \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \bigl(u(t)+v(t)\bigr)=U+V (limite da soma),
  • \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \bigl(u(t)-v(t)\bigr)=U-V (limite da diferença),
  • \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \bigl(u(t)\cdot v(t)\bigr)=U\cdot V (limite do produto),
  • \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \bigl(c\cdot u(t)\bigr)=c\cdot U para constante c (multiplicação por escalar).
    Essas regras são usadas sem calculadora e são básicas: produto e soma preservam limites quando os limites individuais existem.

Passo 4

Ligando vetores e componentes: limite de função vetorial significa limite componente a componente. Ou seja, \displaystyle \lim_{t\to t_{0}}\vec{F}(t)=\vec{a} equivale a dizer que, para cada i=1,2,3,
\lim_{t\to t_{0}} F_{i}(t)=a_{i},
e análogamente \lim_{t\to t_{0}} G_{i}(t)=b_{i}. Isso é óbvio e fundamental: coordenadas convergem separadamente.

Passo 5

Aplicando tudo à primeira componente do produto vetorial \vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t):
a primeira componente é
\bigl(\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)\bigr)_{1}=F_{2}(t)\,G_{3}(t)-F_{3}(t)\,G_{2}(t).
Agora tomo limite em ambos os termos usando as regras de limite da Passo 3 e a Passo 4:
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{2}(t)\,G_{3}(t)\bigr)=\bigl(\lim_{t\to t_{0}} F_{2}(t)\bigr)\cdot\bigl(\lim_{t\to t_{0}} G_{3}(t)\bigr)=a_{2}\,b_{3},
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{3}(t)\,G_{2}(t)\bigr)=a_{3}\,b_{2}.
Subtraindo (regra da diferença),
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{2}(t)G_{3}(t)-F_{3}(t)G_{2}(t)\bigr)=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}.
Portanto a primeira componente do limite do produto vetorial é a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}, que é exatamente a primeira componente de \vec{a}\wedge\vec{b}.

Passo 6

Fazemos a mesma coisa para a segunda componente. A segunda componente de \vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t) é
\bigl(\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)\bigr)_{2}=F_{3}(t)\,G_{1}(t)-F_{1}(t)\,G_{3}(t).
Tomando limites:
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{3}(t)\,G_{1}(t)\bigr)=a_{3}b_{1},\qquad \lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{1}(t)\,G_{3}(t)\bigr)=a_{1}b_{3},
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\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{3}G_{1}-F_{1}G_{3}\bigr)=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},
que é a segunda componente de \vec{a}\wedge\vec{b}.

Passo 7

Para a terceira componente repetimos o padrão. A terceira componente de \vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t) é
\bigl(\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)\bigr)_{3}=F_{1}(t)\,G_{2}(t)-F_{2}(t)\,G_{1}(t).
Tomando limites:
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{1}(t)\,G_{2}(t)\bigr)=a_{1}b_{2},\qquad \lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{2}(t)\,G_{1}(t)\bigr)=a_{2}b_{1},
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\lim_{t\to t_{0}} \bigl(F_{1}G_{2}-F_{2}G_{1}\bigr)=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1},
que é a terceira componente de \vec{a}\wedge\vec{b}.

Passo 8

Juntando as três componentes que já mostramos convergentes para as componentes correspondentes de \vec{a}\wedge\vec{b}, concluímos que o vetor inteiro converge:
\lim_{t\to t_{0}} \bigl(\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)\bigr) =\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr) =\vec{a}\wedge\vec{b}.
Intuitivamente: como cada componente do produto vetorial é feita por somas, subtrações e produtos das componentes de \vec{F} e \vec{G}, e limites preservam essas operações, o limite do produto vetorial é o produto vetorial dos limites.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)=\vec{a}\wedge\vec{b}

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