Desenhe o gráfico da função f(x)=\sin (x) \cos (x) e:
(a) expresse a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (x) \cos (x) d x
através de um limite de somas de Riemann. O que representa geometricamente cada parcela dessas somas?
(b) Expresse cada parcela das somas do item anterior utilizando uma aproximação linear envolvendo uma primitiva da função que está sendo integraqa. Você chegou em uma soma telescópica? Qual é o resultado dessa soma?
(c) Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral e indique o que representa esse resultado.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (colado de maneira clara). A função dada é \,f(x)=\sin(x)\cos(x)\, e o intervalo considerado é \,[0,\tfrac{\pi}{2}]. As perguntas são:
(a) Expressar a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx
como um limite de somas de Riemann e dizer geometricamente o que representa cada parcela dessas somas.
(b) Expressar cada parcela das somas do item (a) usando uma aproximação linear que envolva uma primitiva da função que está sendo integrada; verificar se obtemos uma soma telescópica e qual é o resultado dessa soma.
(c) Calcular a integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo e indicar o que esse resultado representa geometricamente.

Passo 2

Descrição do gráfico de f(x)=\sin(x)\cos(x) no intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] — vamos entender a forma antes de integrar.
  • Zeros: \sin(x)\cos(x)=0 quando \sin(x)=0 ou \cos(x)=0. No intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] esses zeros ocorrem em x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}.
  • Valor máximo: podemos observar que a função é positiva no intervalo e tem um máximo interior. Um modo rápido de ver o máximo é notar que \sin(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x) (isso é uma identidade trigonométrica), então o máximo de \sin(2x) em [0,\pi] (porque 2x\in[0,\pi]) ocorre em 2x=\tfrac{\pi}{2}, isto é x=\tfrac{\pi}{4}. Nesse ponto
f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\tfrac{1}{2}.
  • Formato: começa em 0 em x=0, cresce suavemente até \tfrac{1}{2} em x=\tfrac{\pi}{4} e depois decresce suavemente até 0 em x=\tfrac{\pi}{2}. É uma campânula positiva e simétrica em torno de x=\tfrac{\pi}{4} (pela forma \tfrac{1}{2}\sin(2x)).

Passo 3

(a) Escrever a integral como limite de somas de Riemann — definição e notação.
  • Fazer uma partição regular do intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] em n subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{n}=\frac{\pi}{2n}.
  • Denotar os pontos da partição por
x_k = 0 + k\Delta x = \frac{k\pi}{2n},\qquad k=0,1,\dots,n.
  • Em cada subintervalo [x_{k-1},x_k] escolhemos um ponto de amostragem x_k^*\in[x_{k-1},x_k] (pode ser à esquerda, à direita ou o ponto médio). A soma de Riemann correspondente é
S_n=\sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x = \sum_{k=1}^{n} \sin(x_k^*)\cos(x_k^*)\cdot\frac{\pi}{2n}.
  • A integral é o limite dessas somas quando a malha da partição tende a zero (equivalentemente n\to\infty):
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \sin(x_k^*)\cos(x_k^*)\cdot\frac{\pi}{2n}.
  • Interpretação geométrica de cada parcela \sin(x_k^*)\cos(x_k^*)\cdot\frac{\pi}{2n}: é a área de um retângulo de base \Delta x=\tfrac{\pi}{2n} e altura f(x_k^*)=\sin(x_k^*)\cos(x_k^*). Cada parcela aproxima a área sob a curva y=f(x) no subintervalo [x_{k-1},x_k]. Somando todas as parcelas obtemos uma aproximação da área total entre a curva e o eixo x em [0,\tfrac{\pi}{2}]; ao fazer n\to\infty obtemos a área exata.

Passo 4

(b) Aproximação linear usando uma primitiva e obtenção de soma telescópica.
  • Primeiro, explico o que é primitiva: uma função F(x) é primitiva (ou antiderivada) de f(x) se F'(x)=f(x) para todo x. A ideia é ligar os incrementos de F aos valores de f.
  • Considere um subintervalo [x_{k-1},x_k] com \Delta x=x_k-x_{k-1}. Expandindo a primitiva F em primeira ordem (aproximação linear — regra de Taylor de ordem 1) em torno de x_{k-1} obtemos:
F(x_k)\approx F(x_{k-1}) + F'(x_{k-1})\,(x_k-x_{k-1}).
  • Como F'(x)=f(x), isso vira
F(x_k)-F(x_{k-1}) \approx f(x_{k-1})\,\Delta x.
Ou, se escolhermos o ponto de amostragem x_k^*=x_{k-1} (soma à esquerda), cada parcela da soma de Riemann f(x_{k-1})\Delta x é aproximadamente o incremento F(x_k)-F(x_{k-1}).
  • Uma versão mais precisa vem do Teorema do Valor Médio para integrais: existe c_k\in(x_{k-1},x_k) tal que
F(x_k)-F(x_{k-1}) = F'(c_k)\,(x_k-x_{k-1}) = f(c_k)\,\Delta x.
Isto mostra que para cada subintervalo existe um ponto em que a parcela f(c_k)\Delta x é exatamente o incremento de F.
  • Agora somando essas igualdades/aproximações para k=1,\dots,n obtemos (exatamente no caso com os pontos c_k, ou em limite no caso da aproximação linear):
\sum_{k=1}^n \big(F(x_k)-F(x_{k-1})\big) = F(x_n)-F(x_0).
Isto é uma soma telescópica: todos os termos internos se cancelam par a par e ficam apenas as extremidades.
  • Aplicando isso à soma de Riemann, vemos que (em limite)
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k^*)\Delta x = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \big(F(x_k)-F(x_{k-1})\big) = F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-F(0).
Portanto sim: usando a relação entre parcelas e incrementos de uma primitiva obtemos uma soma telescópica cujo resultado é a diferença da primitiva nas extremidades do intervalo.

Passo 5

Encontrar explicitamente uma primitiva de f(x)=\sin(x)\cos(x) (a “aula” curta sobre como achar).
  • Observação útil: a derivada de \sin^2(x) é
\frac{d}{dx}\sin^2(x)=2\sin(x)\cos(x).
Isto significa que uma primitiva de \sin(x)\cos(x) é
F(x)=\tfrac{1}{2}\sin^2(x),
porque F'(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\sin(x)\cos(x)=\sin(x)\cos(x).
  • Alternativamente, usando a identidade \sin(x)\cos(x)=\tfrac{1}{2}\sin(2x) e integrando \tfrac{1}{2}\sin(2x) daria o mesmo resultado (por exemplo F(x)=-\tfrac{1}{4}\cos(2x), que difere de \tfrac{1}{2}\sin^2(x) apenas por uma constante).
  • Usando a primitiva F(x)=\tfrac{1}{2}\sin^2(x) e o Teorema Fundamental do Cálculo, a integral no enunciado é
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx = F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-F(0).
Calcular:
F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sin^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}, \qquad F(0)=\tfrac{1}{2}\sin^2(0)=0.
Logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)\,dx = \tfrac{1}{2}.
  • Interpretação geométrica do resultado: o valor \tfrac{1}{2} é a área exata sob a curva y=\sin(x)\cos(x) entre x=0 e x=\tfrac{\pi}{2}. Em palavras: a região limitada pela curva, pelo eixo x e pelas retas verticais x=0 e x=\tfrac{\pi}{2} tem área igual a \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo conciso do fechamento lógico (ligando as partes):
  • (a) A integral foi escrita como
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \sin(x_k^*)\cos(x_k^*)\cdot\frac{\pi}{2n},
cada parcela sendo a área de um retângulo que aproxima a área sob a curva em um pequeno subintervalo.
  • (b) Usando uma primitiva F e aproximação linear (ou o Teorema do Valor Médio), cada parcela se relaciona com o incremento F(x_k)-F(x_{k-1}); somando obtemos uma soma telescópica que dá F(\tfrac{\pi}{2})-F(0).
  • (c) Calculando explicitamente com F(x)=\tfrac{1}{2}\sin^2(x) obtemos o valor numérico \tfrac{1}{2}, que é a área exata pedida.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\cos(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\sin(x_k^*)\cos(x_k^*)\cdot\frac{\pi}{2n}. Cada parcela \sin(x_k^*)\cos(x_k^*)\cdot\frac{\pi}{2n} é a área de um retângulo (base \tfrac{\pi}{2n}, altura f(x_k^*)) que aproxima a área sob a curva no subintervalo. \n
(b) Se F é primitiva de f (por exemplo F(x)=\tfrac{1}{2}\sin^2(x)), então aproximadamente f(x_{k-1})\Delta x\approx F(x_k)-F(x_{k-1}) (e pelo Teorema do Valor Médio existe c_k tal que f(c_k)\Delta x=F(x_k)-F(x_{k-1})). Somando obtemos a soma telescópica \sum_{k=1}^n\big(F(x_k)-F(x_{k-1})\big)=F(\tfrac{\pi}{2})-F(0). \n
(c) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, com F(x)=\tfrac{1}{2}\sin^2(x),
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\cos(x)\,dx=F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-F(0)=\tfrac{1}{2}.
Esse resultado representa a área exata sob a curva y=\sin(x)\cos(x) no intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].

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