Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
5. sumk=1^infty(-1)^k-1 76^k-1

Passo 1

A questão pede para investigar a convergência da série sumk=1^infty(-1)^k-1 76^k-1 e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas e a fórmula de soma para |r|<1.

Passo 2

Para ver que isso é uma série geométrica, fazemos a mudança de índice n=k-1. Então
sumk=1^infty(-1)^k-1 76^k-1 = sumn=0^infty (-1)^n 76^n = 7 sumn=0^infty l(-tfrac16r)^n

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica sumn=0^infty a,r^n converge se |r|<1 e sua soma vale tfraca1-r. Aqui temos a=7 e r=-tfrac16, com |r|=tfrac16<1, logo a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma:
Soma = a1-r = 71 - (-tfrac16) = 71 + tfrac16 = 7tfrac76 = 6

Resposta

6

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