Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} e^{-t} \mu\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $. Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas essenciais para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que a função $ \mu $ faz e como aplicar a definição da Transformada de Laplace passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ \mu\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $. A função $ \mu $ é a função degrau de Heaviside, que vale 0 quando o argumento é negativo e 1 quando é positivo. Então, precisamos descobrir para quais valores de $ t $ a expressão $ \left|t^{2}-7\right| - 2 $ é maior ou igual a zero.
Passo 3
Vamos resolver a inequação $ \left|t^{2}-7\right| - 2 \geq 0 $. Isso significa que $ \left|t^{2}-7\right| \geq 2 $. A equação dentro do valor absoluto nos dá duas situações:
- $ t^{2} - 7 \geq 2 $ → $ t^{2} \geq 9 $ → $ t \geq 3 $ ou $ t \leq -3 $
- $ t^{2} - 7 \leq -2 $ → $ t^{2} \leq 5 $ → $ -\sqrt{5} \leq t \leq \sqrt{5} $
Como a Transformada de Laplace é definida para $ t \geq 0 $, vamos considerar apenas $ t \geq 0 $. Assim, os intervalos relevantes são $ 0 \leq t \leq \sqrt{5} $ e $ t \geq 3 $.
Passo 4
Então, a função $ f(t) $ fica:
Isso significa que $ f(t) $ é igual a $ t^{2} e^{-t} $ quando $ t \leq \sqrt{5} $ ou $ t \geq 3 $, e zero caso contrário.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace $ L{f(t)} $ é dada por:
Substituindo $ f(t) $:
Simplificando os exponentes:
Passo 6
Esses integrais são do tipo $ \int t^{n} e^{-a t} dt $, cuja solução geral envolve funções gama incompletas. No entanto, para fins didáticos, vamos expressar a Transformada de Laplace utilizando a função gama completa $ \Gamma(n) $, onde $ \Gamma(n) = (n-1)! $ para inteiros positivos.
Então, temos:
Resposta
A Transformada de Laplace da função dada é: