Calcular Lt^2 e^-t mu(|t^2-7|-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{2} e^{-t} \mu\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $. Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas essenciais para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que a função $ \mu $ faz e como aplicar a definição da Transformada de Laplace passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ \mu\left(\left|t^{2}-7\right|-2\right) $. A função $ \mu $ é a função degrau de Heaviside, que vale 0 quando o argumento é negativo e 1 quando é positivo. Então, precisamos descobrir para quais valores de $ t $ a expressão $ \left|t^{2}-7\right| - 2 $ é maior ou igual a zero.

Passo 3

Vamos resolver a inequação $ \left|t^{2}-7\right| - 2 \geq 0 $. Isso significa que $ \left|t^{2}-7\right| \geq 2 $. A equação dentro do valor absoluto nos dá duas situações:
  1. $ t^{2} - 7 \geq 2 $  →  $ t^{2} \geq 9 $  →  $ t \geq 3 $ ou $ t \leq -3 $
  2. $ t^{2} - 7 \leq -2 $  →  $ t^{2} \leq 5 $  →  $ -\sqrt{5} \leq t \leq \sqrt{5} $
Como a Transformada de Laplace é definida para $ t \geq 0 $, vamos considerar apenas $ t \geq 0 $. Assim, os intervalos relevantes são $ 0 \leq t \leq \sqrt{5} $ e $ t \geq 3 $.

Passo 4

Então, a função $ f(t) $ fica:
f(t)
Isso significa que $ f(t) $ é igual a $ t^{2} e^{-t} $ quando $ t \leq \sqrt{5} $ ou $ t \geq 3 $, e zero caso contrário.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace $ L{f(t)} $ é dada por:
Lf(t)
Substituindo $ f(t) $:
Lf(t) = integral0^infty f(t) e^-s t dt
Simplificando os exponentes:
f(t)

Passo 6

Esses integrais são do tipo $ \int t^{n} e^{-a t} dt $, cuja solução geral envolve funções gama incompletas. No entanto, para fins didáticos, vamos expressar a Transformada de Laplace utilizando a função gama completa $ \Gamma(n) $, onde $ \Gamma(n) = (n-1)! $ para inteiros positivos.
Então, temos:
integral t^n e^-a t dt

Resposta

A Transformada de Laplace da função dada é:
Lt^2 e^-t mu(|t^2-7|-2) = 2(s+1)^3 [ 1 - e^-(s+1) raiz5 ( 1 + (s+1) raiz5 + (s+1)^2 (raiz5)^22 ) ] + e^-(s+1) 3 ( 2(s+1)^3 + 6(s+1)^2 + 12s+1 )

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