Calcule o valor de
sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso exista. Se não existir, justifique
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) $. A função $ g(x) $ é definida de forma diferente para valores de $ x $ menores que 0, iguais a 0 e maiores que 0. Para resolver esse limite, vamos analisar os comportamentos da função à esquerda e à direita de 0 e verificar se esses limites coincidem.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0). Nesse caso, a função é definida como:
Queremos encontrar:
Sabemos que:
Este é um limite fundamental em cálculo, frequentemente utilizado para resolver limites envolvendo funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita (valores maiores que 0). Nesse caso, a função é definida como:
Queremos encontrar:
Vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos o limite de $ \cos^2(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
Isso porque $ \cos(0) = 1 $, e então $ 1^2 = 1 $.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de $ 1 + \log_{10}(x + 1) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
Isso porque $ \log_{10}(1) = 0 $.
Passo 6
Agora, juntando os resultados obtidos nos passos anteriores, temos:
Passo 7
Com os limites pela esquerda e pela direita calculados, podemos concluir que:
Como ambos os limites laterais são iguais, o limite geral da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 existe e é igual a esse valor comum.