Calcule o valor de lim x 0 g(x) sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso exista. Se não existir, justifique
g(x)=ll sen(x)x & se x<0 2 & se x=0 cos ^2(x)1+log 10(x+1) & se x>0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) $. A função $ g(x) $ é definida de forma diferente para valores de $ x $ menores que 0, iguais a 0 e maiores que 0. Para resolver esse limite, vamos analisar os comportamentos da função à esquerda e à direita de 0 e verificar se esses limites coincidem.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda (valores menores que 0). Nesse caso, a função é definida como:
g(x)
Queremos encontrar:
x
Sabemos que:
g(x) = sin(x)x
Este é um limite fundamental em cálculo, frequentemente utilizado para resolver limites envolvendo funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita (valores maiores que 0). Nesse caso, a função é definida como:
g(x)
Queremos encontrar:
x
Vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos o limite de $ \cos^2(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
cos^2(x)
Isso porque $ \cos(0) = 1 $, e então $ 1^2 = 1 $.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de $ 1 + \log_{10}(x + 1) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
1 + log10(x + 1)
Isso porque $ \log_{10}(1) = 0 $.

Passo 6

Agora, juntando os resultados obtidos nos passos anteriores, temos:
limx 0^+ cos^2(x)1 + log10(x + 1) = 11 = 1

Passo 7

Com os limites pela esquerda e pela direita calculados, podemos concluir que:
limx 0^- g(x) = 1 e limx 0^+ g(x) = 1
Como ambos os limites laterais são iguais, o limite geral da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 existe e é igual a esse valor comum.

Resposta

limx 0 g(x) = 1

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