Calcular a massa do sólido que é delimitado pelo plano-xy, pelo parabolóide e pelo cilindro . A densidade do sólido é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um sólido que está limitado pelo plano-xy, pelo parabolóide e pelo cilindro . A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para encontrar a massa usando a densidade fornecida . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa sistema, a gente transforma as coordenadas cartesianas para , onde:
é a distância do ponto à origem no plano xy.
é o ângulo em relação ao eixo x.
permanece o mesmo.
Essa mudança é útil porque nosso sólido é simétrico em torno do eixo z, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
: O cilindro se transforma em . Então, .
: Como o sólido é completo ao redor do eixo z, .
: O parabolóide vira , e o plano-xy é . Então, .
Passo 4
A densidade em coordenadas cilíndricas fica , já que . A massa do sólido é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume:
Aqui, o primeiro é a densidade e o segundo vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é .
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a integral0^2 r^4 , dr = r^55 |0^2 = 325 :