Calcular a massa do sólido B que é delimitado pelo plano-xy, pelo parabolóide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=4. A densidade do sólido é dada por de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de um sólido que está limitado pelo plano-xy, pelo parabolóide e pelo cilindro . A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para encontrar a massa usando a densidade fornecida . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa sistema, a gente transforma as coordenadas cartesianas para , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano xy.
  • é o ângulo em relação ao eixo x.
  • permanece o mesmo.
Essa mudança é útil porque nosso sólido é simétrico em torno do eixo z, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • : O cilindro se transforma em . Então, .
  • : Como o sólido é completo ao redor do eixo z, .
  • : O parabolóide vira , e o plano-xy é . Então, .

Passo 4

A densidade M = integral0^2pi integral0^2 integral0^r^2 r cdot r , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas fica , já que . A massa do sólido é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume:
Aqui, o primeiro é a densidade e o segundo vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^r^2 r^2 , dz = r^2 cdot z |0^r^2 = r^2 cdot r^2 = r^4 :
M = integral0^2pi integral0^2 r^4 , dr , dtheta
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a integral0^2 r^4 , dr = r^55 |0^2 = 325 :
M = integral0^2pi 325 , dtheta = 325 cdot theta |0^2pi = 325 cdot 2pi = 64pi5
Agora, a integral fica:

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

Exercícios relacionados