Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(b)
Resp:
(b)
Passo 1
Estamos com a função f(x)=x³+2x²+x+1 e queremos encontrar os pontos de inflexão e estudar onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para verificar crescimento/decrescimento (não tão necessária aqui) e a segunda para o sinal da concavidade e inflexão.
Passo 2
Aplicando a regra do poder, calculamos a primeira derivada:
e em seguida a segunda derivada:
A segunda derivada nos diz sobre a concavidade.
Passo 3
Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos f’’(x)=0, pois é onde a concavidade pode mudar de sinal:
Então x=-2/3 é o candidato a ponto de inflexão.
Passo 4
Vamos analisar o sinal de f’’(x) nos intervalos gerados por x=-2/3. Se x< -2/3, por exemplo x=-1, f’’(-1)=6(-1)+4=-2<0, logo a função é côncava para baixo. Se x> -2/3, por exemplo x=0, f’’(0)=4>0, logo é côncava para cima. Como houve troca de f’’ de negativo para positivo em x=-2/3, confirmamos um ponto de inflexão ali.
Passo 5
Para encontrar a ordenada do ponto de inflexão, calculamos f(-2/3):
Passo 6
Portanto, o ponto de inflexão é
. A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
Resposta
Ponto de inflexão em x=-2/3, com coordenada y=25/27. A função é côncava para baixo em (-∞, -2/3) e côncava para cima em (-2/3, ∞).