Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(b) f(x)=x^3+2 x^2+x+1 Resp: x=-23

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x³+2x²+x+1 e queremos encontrar os pontos de inflexão e estudar onde ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para verificar crescimento/decrescimento (não tão necessária aqui) e a segunda para o sinal da concavidade e inflexão.

Passo 2

Aplicando a regra do poder, calculamos a primeira derivada:
f'(x)=3x²+4x+1 ²
e em seguida a segunda derivada:
f''(x)=6x+4
A segunda derivada nos diz sobre a concavidade.

Passo 3

Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos f’’(x)=0, pois é onde a concavidade pode mudar de sinal:
6x+4=0Rightarrow x=-tfrac46=-tfrac23
Então x=-2/3 é o candidato a ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de f’’(x) nos intervalos gerados por x=-2/3. Se x< -2/3, por exemplo x=-1, f’’(-1)=6(-1)+4=-2<0, logo a função é côncava para baixo. Se x> -2/3, por exemplo x=0, f’’(0)=4>0, logo é côncava para cima. Como houve troca de f’’ de negativo para positivo em x=-2/3, confirmamos um ponto de inflexão ali.

Passo 5

Para encontrar a ordenada do ponto de inflexão, calculamos f(-2/3):
fl(-tfrac23r)=l(-tfrac23r)^3+2l(-tfrac23r)^2+l(-tfrac23r)+1=-tfrac827+tfrac89-tfrac23+1=tfrac2527

Passo 6

Portanto, o ponto de inflexão é (-tfrac23,tfrac2527). A função é côncava para baixo em (-infty,-tfrac23) e côncava para cima em (-tfrac23,infty).

Resposta

Ponto de inflexão em x=-2/3, com coordenada y=25/27. A função é côncava para baixo em (-∞, -2/3) e côncava para cima em (-2/3, ∞).

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