Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das seguintes funções e usando o teste da derivada primeira classifique os pontos críticos como pontos de máximo ou mínimo local:
(a) f(x)=x^3+2 x^2+x+1 Resp: Crescente: ]-infty ;-1[ ou Decrescente:[ ]-13 ;+infty[

Passo 1

Vamos considerar a função e o que precisamos: temos a função f(x)=x^3+2x^2+x+1. O objetivo é achar os intervalos em que f cresce ou decresce e, usando o teste da derivada primeira, identificar se cada ponto crítico é máximo ou mínimo local.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada primeira de f. Lembrando que a derivada de x^n é n x^n-1, temos:
f'(x)=ddxl(x^3+2x^2+x+1r)=3x^2+4x+1

Passo 3

Em seguida, encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Isso dá a equação quadrática:
3x^2+4x+1=0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em ax^2+bx+c=0 com a=3, b=4, c=1, o discriminante é De. Assim,
x=-bpmraizDe

Passo 5

Agora, fazemos o estudo de sinal de f'(x)=3x^2+4x+1. Como se trata de uma parábola que abre para cima (coeficiente de x^2 positivo), o sinal de f' é:
f'(x)>0 em ]-infty,-1[cup]-tfrac13,+infty[e f'(x)<0 em ]-1,-tfrac13[

Passo 6

Finalmente, pelo teste da derivada primeira, observamos que em x=-1 a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local, e em x=-tfrac13 muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Resposta

Intervalos de crescimento: ]-∞; -1[ ∪ ]-1/3; +∞[
Intervalo de decrescimento: ]-1; -1/3[
Ponto crítico x=-1: máximo local
Ponto crítico x=-1/3: mínimo local

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