Calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:
c) [lll1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 1 & 1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz dos cofactores e a matriz inversa de
A = 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 1 & 1
Para isso vamos usar os seguintes passos: (i) calcular det(A); (ii) para cada posição (i,j), achar o menor correspondente e o cofactor Cij=(-1)^i+jMij; (iii) montar a matriz de cofactores; (iv) transpor para obter a adjunta adj(A); (v) usar A^-1=(1/det(A)),adj(A).

Passo 2

Calculemos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet3&01&1 -0cdotdet1&01&1 +0cdotdet1&31&1 =1cdot(3cdot1-0cdot1)=3

Passo 3

Agora cada cofactor Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o determinante da matriz obtida de A eliminando linha i e coluna j. Calculando em bloco:
Primeira linha de cofatores:
C11=+,det3&01&1=3, C12=-,det1&01&1=-1, C13=+,det1&31&1=-2
Segunda linha de cofatores:
C21=-,det0&01&1=0, C22=+,det1&01&1=1, C23=-,det1&01&1=-1
Terceira linha de cofatores:
C31=+,det0&03&0=0, C32=-,det1&01&0=0, C33=+,det1&01&3=3

Passo 4

A matriz de cofactores C é
C = 3 & -1 & -2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 3

Passo 5

A adjunta é a transposta de C:
adj(A) = C^T = 3 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -2 & -1 & 3

Passo 6

Finalmente,
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 13 3 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -2 & -1 & 3 = 1 & 0 & 0 -tfrac13 & tfrac13 & 0 -tfrac23 & -tfrac13 & 1

Resposta

Matriz dos cofactores:
3 & -1 & -2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 3 ,
Matriz inversa:
1 & 0 & 0 -tfrac13 & tfrac13 & 0 -tfrac23 & -tfrac13 & 1

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