Problema: Sejam e T: R^3 R^4 a transformação linear definida como
T(u)=x v1+y v2+z v3=[ccc 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 1 ][l x y z ], u=[l x y z ]
e seja T^*: R^4 R^3 a transformação linear dada por
T^*(v)=[cccc 1 & -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 ][l q r s t ], v=[l q r s t ]
Determine
k1=ProjW k
calcule k2=k-k1 e verifique que k1 perp k2;
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores v1=1-101, v2=11-10, v3=1111
e o vetor k=4012.
Definimos o subespaço W=Im(T)=spanv1,v2,v3. O objetivo é calcular a projeção ortogonal k1=ProjWk,
decompor k=k1+k2 e verificar k1perp k2.
O conteúdo usado é a fórmula da projeção em termos de matrizes:
k1=T,(T^*T)^-1T^*,k,
onde a matriz de T é A=[v1;v2;v3] e T^*=A^T.
Passo 2
Aplicamos a fórmula da projeção:
k1=A,(A^TA)^-1A^T,k
Para isto precisamos de A^TA (matriz de Gram), de sua inversa e de A^Tk.