Problema: Sejam A=[c1 -1 0 1],[c1 1 -1 0],[l1 1 1 1]=v1, v2, v3, k=[l4 0 1 2] e T: R^3 R^4 a transformação linear definida como
T(u)=x v1+y v2+z v3=[ccc 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 0 & -1 & 1 1 & 0 & 1 ][l x y z ], u=[l x y z ]
e seja T^*: R^4 R^3 a transformação linear dada por
T^*(v)=[cccc 1 & -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 ][l q r s t ], v=[l q r s t ]
Determine
k1=ProjW k
calcule k2=k-k1 e verifique que k1 perp k2;

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores
v1=1-101,
v2=11-10,
v3=1111
e o vetor
k=4012.
Definimos o subespaço W=Im(T)=spanv1,v2,v3. O objetivo é calcular a projeção ortogonal
k1=ProjWk,
decompor k=k1+k2 e verificar k1perp k2.
O conteúdo usado é a fórmula da projeção em termos de matrizes:
k1=T,(T^*T)^-1T^*,k,
onde a matriz de T é A=[v1;v2;v3] e T^*=A^T.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da projeção:
k1=A,(A^TA)^-1A^T,k
Para isto precisamos de A^TA (matriz de Gram), de sua inversa e de A^Tk.

Passo 3

Calculamos primeiro
A^Tk = 1 & -1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 4012 =637

Passo 4

Agora formamos a matriz de Gram
G=A^TA = lang<= v1,v1rang<= & lang<= v1,v2rang<= & lang<= v1,v3rang<= lang<= v2,v1rang<= & lang<= v2,v2rang<= & lang<= v2,v3rang<= lang<= v3,v1rang<= & lang<= v3,v2rang<= & lang<= v3,v3rang<= =3&0&10&3&11&1&4
O determinante é det G=30 e a adjunta é
adj(G)=11&1&-31&11&-3-3&-3&9.
Logo
G^-1=13011&1&-31&11&-3-3&-3&9

Passo 5

Calculamos o vetor de coordenadas
u=(G^-1)(A^Tk) =13011&1&-31&11&-3-3&-3&9 637 =8/53/56/5

Passo 6

Então
k1=A,u =85v1+35v2+65v3 =17/51/53/514/5
E o complemento é
k2=k-k1 =4012 -17/51/53/514/5 =3/5-1/52/5-4/5

Passo 7

Verificamos o produto interno
k1cdot k2 =175cdot35 +15cdotl(-15r) +35cdot25 +145cdotl(-45r) =0,
logo k1perp k2.

Resposta

k1=17/51/53/514/5, k2=3/5-1/52/5-4/5, k1perp k2

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