Recorra à regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes:
f) [lllll1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 0 & 6 & 0 1 & 1 & 0 & 3 & 0 0 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 2 & 5].

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 1 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 0 & 6 & 0 1 & 1 & 0 & 3 & 0 0 & 3 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 2 & 5
usando a regra de Laplace. Vamos aproveitar colunas ou linhas com muitos zeros para simplificar a conta.

Passo 2

Observamos que a terceira coluna de A tem apenas um elemento não nulo, a43=1. Logo, expandindo ao longo da coluna 3:
det(A) =sumi=1^5(-1)^i+3ai3det(Mi3) =(-1)^4+3cdot1cdotdet(M43) =-det(M43),
onde M43 é a matriz obtida de A ao riscar a linha 4 e a coluna 3.

Passo 3

O menor M43 é a matriz 4times4 formada pelas linhas 1,2,3,5 e colunas 1,2,4,5 de A:
B = M43 = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 6 & 0 1 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 2 & 5
Logo det(A)=-det(B).

Passo 4

Para det(B), notamos que a última linha (0,0,2,5) tem só dois elementos não nulos. Expandindo ao longo da linha 4:
det(B) =sumj=1^4(-1)^4+jb4jdet(M^(B)4j) =(-1)^4+3,2det(C1) +(-1)^4+4,5det(D),
onde
C1 = 1 & 1 & 0 1 & 4 & 0 1 & 1 & 0 , D = 1 & 1 & 0 1 & 4 & 6 1 & 1 & 3
Repare que C1 tem coluna inteira de zeros, então det(C1)=0. Assim
det(B) = (+1)cdot5cdotdet(D) =5,det(D)

Passo 5

Falta det(D) para D=1&1&01&4&61&1&3. Expandindo pela primeira linha:
det(D) =1cdotdet4&61&3 -1cdotdet1&61&3 +0 =1,(4cdot3-6cdot1)-1,(1cdot3-6cdot1) =1,(12-6)-1,(3-6) =6-(-3)=9

Passo 6

Logo
det(B)=5cdot9=45, det(A)=-det(B)=-45

Resposta

-45

Exercícios relacionados