Questão 8 (1 ponto) - Ache todas as matrizes B que comutam (sob multiplicação de matrizes) \operatorname{com} A= \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -4 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes B\in M_{2}(\mathbb{R}) tais que AB=BA, onde
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\[6pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é usar a definição de comutatividade AB=BA e resolver para os coeficientes de B.]

Passo 2

Escrevemos uma matriz genérica
B = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
e calculamos
AB = \begin{pmatrix}3a + c & 3b + d\\[4pt]-4a + c & -4b + d\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}3a - 4b & a + b\\[4pt]3c - 4d & c + d\end{pmatrix}.]

Passo 3

Igualamos as entradas de AB e BA, obtendo o sistema
3a + c = 3a - 4b, \quad 3b + d = a + b, \quad -4a + c = 3c - 4d, \quad -4b + d = c + d.

Passo 4

Da primeira e da última equação vem
c = -4b.
Da segunda equação vem
d = a - 2b.
A terceira equação torna-se redundante ao substituir c e d, confirmando consistência.

Passo 5

Logo todas as soluções são
B = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]-4b & a - 2b\end{pmatrix}, \quad a,b\in\mathbb{R}.
Alternativamente, note que basta escrever a = \alpha + 3\beta e b=\beta, obtendo
B = \alpha I + \beta A, \quad \alpha,\beta\in\mathbb{R}.]

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são
B = \alpha I + \beta A \quad\text{com }\alpha,\beta\in\mathbb{R},
isto é,
B = \begin{pmatrix}\alpha + 3\beta & \beta\\[4pt]-4\beta & \alpha + \beta\end{pmatrix}.]

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