Questão 10 (1 ponto - Requer Cálculo) - Encontre valores de \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{e} \mathrm{c} tais que o gráfico do polinômio p(x)= a x^{2}+b x+c passa pelo ponto(-10, 0) e tem uma tangente horizontal em (-2, -64).

Passo 1

O enunciado nos pede valores de a, b e c de um polinômio quadrático
p(x)=a x^{2}+b x+c
que passa pelo ponto (-10,0) e tem tangente horizontal em (-2,-64). Vamos usar derivada para impor a tangente horizontal e depois montar um sistema pelas condições de ponto.

Passo 2

A derivada de p é
p'(x)=2a x + b.
Tangente horizontal em x=-2 significa p'(-2)=0, logo
-4a + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 4a.

Passo 3

Agora impomos que o polinômio passa por (-10,0) e (-2,-64), gerando o sistema
100a - 10b + c = 0,
4a - 2b + c = -64.
Substituindo b=4a em ambas as equações:

Passo 4

Da primeira equação:
100a - 10(4a) + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad 60a + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = -60a.
Da segunda equação:
4a - 2(4a) + (-60a) = -64 \quad\Longrightarrow\quad -64a = -64 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.
Logo
b = 4a = 4, \quad c = -60a = -60.

Resposta

a = 1, b = 4 e c = -60.

Exercícios relacionados