Equação de Euler I. Considere um volume qualquer no interior de um fluido delimitado por uma superfície fechada de área A0. A força hidrostática total Fh i d que atua nesse volume é dada por
Fh i d=-ointA0 p(r, t) n d A=-integralV0 nabla p d V
onde p(r, t) é a pressão e a segunda igualdade foi obtida a partir da definição integral do gradiente. © A partir do resultado do item (b), qual seria a condição de equilíbrio mecânico de um fluido em repouso? Quais as implicações dessa condição em p(r, t) na situação em que os efeitos gravitacionais são desprezados?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício (item c) está pedindo. A gente já viu no item (b) que a força hidrostática total num volume V₀ é
Fhid ;=; -integralV0 nabla p;dV
Agora o que querem é: “Qual a condição de equilíbrio mecânico de um fluido em repouso?” — ou seja, quando ele não está se mexendo, quais forças vão se anular? E depois, se a gente despreza a gravidade, o que isso diz sobre o campo de pressão ?
Conteúdo necessário:
  • Newton (ou Euler) para fluidos: soma de forças = 0 em equilíbrio.
  • Saber que a gravidade introduz uma força volumétrica .
  • Entender que o gradiente indica como a pressão varia no espaço.

Passo 2

Para um fluido em repouso e sob ação só da pressão e da gravidade, o balanço de forças em cada pedacinho de volume é:
underbrace-integralV0nabla p,dVFhid ;+;underbraceintegralV0rho,g,dVFgrav ;=; 0
Como isso vale para qualquer volume arbitrário -nabla p ;+;rho,g ;=; 0 Longrightarrow nabla p ;=;rho,g , o integrando tem que se anular ponto a ponto:
Isto é a famosa condição de equilíbrio hidrostático: a variação espacial da pressão equilibra o “peso” (força da gravidade) do fluido.

Passo 3

Agora, se desprezamos o efeito da gravidade (ou seja, nabla p = 0 ), a equação acima vira simplesmente
Isso significa que, em todo ponto do fluido, não existe variação espacial de pressão.

Resposta

Em equilíbrio mecânico (fluido parado) temos
nabla p = rho,g
Se desprezamos a gravidade ( nabla p = 0 Longrightarrow p(r,t)=constante em r ), sobra
Ou seja, a pressão não depende da posição — é a mesma em todo lugar dentro do fluido.

Exercícios relacionados