CALCULAR MÁXIMO E MÍNIMOS DE UMA REGIAO FECHADA
F(x, y)=x^3+y^3-12 x-3 y

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O exercício quer que a gente encontre os máximos e mínimos da função $ F(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 3y $. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e analisar onde a função atinge esses pontos especiais. Precisamos derivar a função em relação a $ x $ e $ y $, achar onde essas derivadas são zero (os chamados pontos críticos) e depois descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro passo: calcular as derivadas parciais da função $ F $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $ é:
F
E a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo para $ x $:
x
E para $ y $:
3x^2 - 12 = 0 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, os pontos críticos são $ (2,1) $, $ (2,-1) $, $ (-2,1) $ e $ (-2,-1) $.

Passo 4

Para descobrir se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas da função:
partial^2 Fpartial x^2 = 6x
partial^2 Fpartial y^2 = 6y
partial^2 Fpartial x partial y = 0
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 5

Vamos avaliar o discriminante $ D $ em cada ponto crítico para determinar o tipo de ponto:
  1. Ponto $ (2,1) $:
    D
    (2,1)
    Como $ D > 0 $ e a segunda derivada em $ x $ é positiva, é um mínimo local.
  2. Ponto $ (2,-1) $:
    D = 36 cdot 2 cdot 1 = 72 > 0
    Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  3. Ponto $ (-2,1) $:
    partial^2 Fpartial x^2 = 6 cdot 2 = 12 > 0
    Também $ D < 0 $, então é um ponto de sela.
  4. Ponto $ (-2,-1) $:
    D > 0
    x
    Aqui, $ D > 0 $ e a segunda derivada em $ x $ é negativa, indicando um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função $ F(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 3y $ são:
  • $ (2,1) $ - mínimo local,
  • $ (-2,-1) $ - máximo local,
  • $ (2,-1) $ e $ (-2,1) $ - pontos de sela.

Exercícios relacionados