CALCULAR MÁXIMO E MÍNIMOS DE UMA REGIAO FECHADA
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O exercício quer que a gente encontre os máximos e mínimos da função $ F(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 3y $. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e analisar onde a função atinge esses pontos especiais. Precisamos derivar a função em relação a $ x $ e $ y $, achar onde essas derivadas são zero (os chamados pontos críticos) e depois descobrir se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro passo: calcular as derivadas parciais da função $ F $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo para $ x $:
E para $ y $:
Então, os pontos críticos são $ (2,1) $, $ (2,-1) $, $ (-2,1) $ e $ (-2,-1) $.
Passo 4
Para descobrir se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas da função:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 5
Vamos avaliar o discriminante $ D $ em cada ponto crítico para determinar o tipo de ponto:
-
Ponto $ (2,1) $:Como $ D > 0 $ e a segunda derivada em $ x $ é positiva, é um mínimo local.
-
Ponto $ (2,-1) $:Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
-
Ponto $ (-2,1) $:Também $ D < 0 $, então é um ponto de sela.
-
Ponto $ (-2,-1) $:Aqui, $ D > 0 $ e a segunda derivada em $ x $ é negativa, indicando um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função $ F(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 3y $ são:
- $ (2,1) $ - mínimo local,
- $ (-2,-1) $ - máximo local,
- $ (2,-1) $ e $ (-2,1) $ - pontos de sela.