Seja f(x, y)=x^2 y+e^y :
(b) Calcule a derivada direcional de f no ponto ( 1,0 ) na direção do vetor unitário u=1raiz2(1,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é a questão que temos em mãos. Precisamos calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} y + e^{y} $ no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor unitário $ \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) $.
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais e gradiente de funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é a derivada direcional.
  • Saber calcular o gradiente da função.
  • Utilizar a fórmula da derivada direcional envolvendo o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é a derivada direcional. Basicamente, ela nos diz a taxa de variação da função $ f(x, y) $ em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.
A fórmula para a derivada direcional $ D_{\vec{u}}f $ é:
f(x, y)
Onde:
  • $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $.
  • $ \cdot $ representa o produto escalar (dot product) entre dois vetores.
  • $ \vec{u} $ é o vetor direção unitário.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
f(x, y)
Calculando as derivadas parciais:
f
x
Então, o gradiente é:
y

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico $ (1, 0) $:
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 0 $ nas derivadas parciais:
(1, 0)
x = 1
Portanto, o gradiente no ponto $ (1, 0) $ é:
y = 0

Passo 5

Agora, vamos utilizar a fórmula da derivada direcional:
Duf = nabla f cdot u
Substituindo os valores que já temos:
nabla f(1, 0) = (0, , 2)
u = ( 1raiz2, 1raiz2 )
Calculando o produto escalar:
Duf = (0) times ( 1raiz2 ) + (2) times ( 1raiz2 ) = 0 + 2raiz2 = 2raiz2
Podemos simplificar 2raiz2:
2raiz2 = raiz2

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor $ \vec{u} $ é $ \sqrt{2} $.

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