Seja :
(b) Calcule a derivada direcional de no ponto ( 1,0 ) na direção do vetor unitário
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a questão que temos em mãos. Precisamos calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} y + e^{y} $ no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor unitário $ \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) $.
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais e gradiente de funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
Entender o que é a derivada direcional.
Saber calcular o gradiente da função.
Utilizar a fórmula da derivada direcional envolvendo o gradiente e o vetor direção.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é a derivada direcional. Basicamente, ela nos diz a taxa de variação da função $ f(x, y) $ em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.
A fórmula para a derivada direcional $ D_{\vec{u}}f $ é:
Onde:
$ \nabla f $ é o gradiente de $ f $.
$ \cdot $ representa o produto escalar (dot product) entre dois vetores.
$ \vec{u} $ é o vetor direção unitário.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico $ (1, 0) $:
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 0 $ nas derivadas parciais:
x = 1
Portanto, o gradiente no ponto $ (1, 0) $ é:
y = 0
Passo 5
Agora, vamos utilizar a fórmula da derivada direcional:
Duf = nabla f cdot u
Substituindo os valores que já temos:
nabla f(1, 0) = (0, , 2)
u = ( 1raiz2, 1raiz2 )
Calculando o produto escalar:
Duf = (0) times ( 1raiz2 ) + (2) times ( 1raiz2 ) = 0 + 2raiz2 = 2raiz2
Podemos simplificar 2raiz2:
2raiz2 = raiz2
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ (1, 0) $ na direção do vetor $ \vec{u} $ é $ \sqrt{2} $.