As medianas de um triângulo dividem esse triângulo em seis triângulos menores. Mostre que esses seis triângulos são equivalentes.
Passo 1
Vamos estudar as medianas de um triângulo ABC. As medianas se cruzam no centróide, dividindo o triângulo em seis triângulos menores. O objetivo é mostrar que todas essas seis regiões têm a mesma área. Para resolver isso, vamos usar um sistema de coordenadas e o fato de que a área é preservada por transformações afins, além da fórmula de área de um triângulo via determinante.
Passo 2
Para simplificar, colocamos A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,1). Com isso, os cálculos ficam mais tranquilos, e vale lembrar que qualquer triângulo pode ser trazido a essa posição via transformação afim, sem mudar razões de área.
Calculamos os pontos médios: D de BC é (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), E de CA é (0,\tfrac{1}{2}) e F de AB é (\tfrac12,0). As medianas são, então, AD, BE e CF.
Calculamos os pontos médios: D de BC é (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), E de CA é (0,\tfrac{1}{2}) e F de AB é (\tfrac12,0). As medianas são, então, AD, BE e CF.
Passo 3
O centróide G é o encontro das medianas e tem coordenadas (\tfrac13,\tfrac13), pois o centróide em coordenadas é a média dos vértices.
Passo 4
A área de ABC vale
Passo 5
Vamos calcular a área de, por exemplo, AGF. Usando determinante:
Passo 6
Como a área total é
, vemos que
. Pelo argumento de simetria (todas as medianas têm papel igual e nós poderíamos repetir o cálculo para qualquer um dos seis triângulos), cada um também vale
.
Concluímos, então, que as seis regiões formadas pelas medianas têm áreas iguais, cada uma da área de ABC.
Concluímos, então, que as seis regiões formadas pelas medianas têm áreas iguais, cada uma
Resposta
Os seis triângulos menores têm todos a mesma área, igual a
da área do triângulo original.