Calcule a área do quadrilátero A B C D onde A D=6, A B=12, B C=4 e A=B=60^circ.

Passo 1

O enunciado pede a área do quadrilátero ABCD com lados AD=6, AB=12, BC=4 e ângulos internos hat A = hat B = 60^circ. Vamos usar coordenadas no plano e a fórmula de Gauss (ou método do polígono) para área.

Passo 2

Colocamos o vértice A na origem e o lado AB sobre o eixo x:
Definimos
A=(0,0), B=(12,0)
Em A, o ângulo DAB=60^circ faz com que
D=A+6(cos60^circ,sin60^circ)=(3,3raiz3)
Em B, o ângulo ABC=60^circ orienta BC acima do eixo x:
C=B+4(cos120^circ,sin120^circ)=(10,2raiz3)

Passo 3

Para quadrilátero convexo podemos usar a fórmula de Gauss (shoelace): listamos os pontos em ordem e calculamos
Área=12l|sumi=1^n xi yi+1-yi xi+1r| Á
Com (x1,y1)=A,(x2,y2)=B,(x3,y3)=C,(x4,y4)=D,(x5,y5)=A obtemos
sum xi yi+1=54raiz3, sum yi xi+1=6raiz3
Logo
Área=tfrac12(54raiz3-6raiz3)=24raiz3 Á

Resposta

24\sqrt{3}

Exercícios relacionados