Calcular a média é a mesma coisa que calcular a metade? Existe algum caso em que a média é igual a metade? Justifique sua resposta. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pergunta se “calcular a média é a mesma coisa que calcular a metade” e pede que se justifique.
Informações dadas (implícitas): trata-se da média aritmética de um conjunto de números e da ideia de “metade” (vou interpretar a forma mais natural: metade da soma dos valores). Não há números específicos fornecidos — a pergunta é sobre o caso geral.

Passo 2

Definir a média aritmética de forma clara. Se tivermos n números quaisquer
x_1,x_2,\dots,x_n,
a média aritmética (que vou chamar de \bar{x}) é o total dividido pelo número de valores:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Explicando com calma: \sum_{i=1}^n x_i significa somar todos os x_i. Depois dividimos essa soma por n, que é a quantidade de termos. Isso dá um valor que representa “o valor médio” dos dados.

Passo 3

Definir o que entendemos por “calcular a metade” na forma relevante para comparar com a média. A interpretação natural para comparar com \bar{x} é “metade da soma dos valores”, isto é
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i.
Observação: é importante esclarecer isto porque “metade” isolada pode significar “metade de um número específico” — aqui a comparação mais plausível com a média é metade da soma total.

Passo 4

Colocar a igualdade que queremos estudar e fazer a álgebra. Perguntamos: quando vale
\bar{x}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i\; ?
Substituindo \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i obtemos
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i.
Colocando tudo num lado:
\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\right)\sum_{i=1}^n x_i=0.

Passo 5

Analisar a equação obtida e tirar as consequências. A equação
\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\right)\sum_{i=1}^n x_i=0
é satisfeita se e só se pelo menos uma das duas condições for verdadeira:
  1. \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i=0 (isto é, a soma dos valores é zero); ou
  2. \displaystyle \frac{1}{n}-\frac{1}{2}=0, o que dá n=2.
Interpretando em palavras:
  • Se houver exatamente dois valores ( n=2), a média é exatamente a metade da soma porque \bar{x}=(x_1+x_2)/2. Exemplo: para 3 e 7, \bar{x}=5 e \tfrac{1}{2}(3+7)=5.
  • Se a soma dos valores for zero (mesmo com qualquer n), então \bar{x}=0 e \tfrac{1}{2}\sum x_i=0, logo também coincidem. Exemplo: -1,0,1 têm soma 0 e média 0.
  • Fora desses casos em geral a média não é igual à metade da soma. Exemplo contrário: para 2,4,6 (aqui n=3) temos \bar{x}=4 enquanto \tfrac{1}{2}\sum x_i=\tfrac{1}{2}\cdot12=6; não são iguais.

Passo 6

Resumo didático e dica para prova. Em geral a média não é a mesma coisa que “calcular a metade”. A média divide a soma pelo número de elementos n; “metade da soma” divide a soma por 2. Esses só coincidem sempre que dividir por n dá o mesmo que dividir por 2 (ou quando a soma for zero). Na prova, ao ver uma afirmação do tipo “média = metade”, verifique rapidamente a quantidade de termos ( n) e se a soma dos termos é zero — essas são as condições-chave.

Resposta

Não; em geral não. A média aritmética \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i coincide com a metade da soma \tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i somente se n=2 ou se \sum_{i=1}^n x_i=0.

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