Calcular a média é a mesma coisa que calcular a metade? Existe algum caso em que a média é igual a metade? Justifique sua resposta. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pergunta se “calcular a média é a mesma coisa que calcular a metade” e pede que se justifique.
Informações dadas (implícitas): trata-se da média aritmética de um conjunto de números e da ideia de “metade” (vou interpretar a forma mais natural: metade da soma dos valores). Não há números específicos fornecidos — a pergunta é sobre o caso geral.
Informações dadas (implícitas): trata-se da média aritmética de um conjunto de números e da ideia de “metade” (vou interpretar a forma mais natural: metade da soma dos valores). Não há números específicos fornecidos — a pergunta é sobre o caso geral.
Passo 2
Definir a média aritmética de forma clara. Se tivermos
números quaisquer
a média aritmética (que vou chamar de
) é o total dividido pelo número de valores:
Explicando com calma:
significa somar todos os
. Depois dividimos essa soma por
, que é a quantidade de termos. Isso dá um valor que representa “o valor médio” dos dados.
Passo 3
Definir o que entendemos por “calcular a metade” na forma relevante para comparar com a média. A interpretação natural para comparar com
é “metade da soma dos valores”, isto é
Observação: é importante esclarecer isto porque “metade” isolada pode significar “metade de um número específico” — aqui a comparação mais plausível com a média é metade da soma total.
Passo 4
Colocar a igualdade que queremos estudar e fazer a álgebra. Perguntamos: quando vale
Substituindo
obtemos
Colocando tudo num lado:
Passo 5
Analisar a equação obtida e tirar as consequências. A equação
é satisfeita se e só se pelo menos uma das duas condições for verdadeira:
-
(isto é, a soma dos valores é zero); ou -
, o que dá .
Interpretando em palavras:
- Se houver exatamente dois valores (
), a média é exatamente a metade da soma porque . Exemplo: para e , e . - Se a soma dos valores for zero (mesmo com qualquer
), então e , logo também coincidem. Exemplo: têm soma e média . - Fora desses casos em geral a média não é igual à metade da soma. Exemplo contrário: para
(aqui ) temos enquanto ; não são iguais.
Passo 6
Resumo didático e dica para prova. Em geral a média não é a mesma coisa que “calcular a metade”. A média divide a soma pelo número de elementos
; “metade da soma” divide a soma por
. Esses só coincidem sempre que dividir por
dá o mesmo que dividir por
(ou quando a soma for zero). Na prova, ao ver uma afirmação do tipo “média = metade”, verifique rapidamente a quantidade de termos (
) e se a soma dos termos é zero — essas são as condições-chave.
Resposta
Não; em geral não. A média aritmética
coincide com a metade da soma
somente se
ou se
.