A distribuição do peso, de uma certa população de pessoas, pode ser modelada como uma v.a. Normal com média 75 Kg e desvio padrão de 7 Kg .
Uma pessoa é considerada obesa quando seu peso está na faixa dos 3 \% mais pesados da população. Qual o menor valor limite de peso para um indivíduo ser classificado como obeso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Informação 1: a variável aleatória do peso segue uma Normal com média \mu=75\\ \text{kg} e desvio padrão \sigma=7\\ \text{kg}.
  • Informação 2: uma pessoa é considerada obesa quando está entre os 3\% mais pesados da população.
  • Pergunta: qual é o menor valor limite de peso (isto é, o menor peso) para que um indivíduo seja classificado como obeso?

Passo 2

Entender o que significa “estar entre os 3\% mais pesados” em termos de probabilidades.
  • Se X é o peso (distribuição Normal com média \mu e desvio \sigma), ser um dos 3\% mais pesados significa
\Pr(X \ge L) = 0,03,
onde L é o limite de peso que queremos encontrar (o menor peso que coloca a pessoa nos 3\% superiores).
  • É mais prático trabalhar com a probabilidade acumulada até L. Como \Pr(X \ge L)=0{,}03, temos
\Pr(X \le L)=1-0{,}03=0{,}97.
Portanto L é o quantil de ordem 0{,}97 da distribuição Normal dada.

Passo 3

Introduzir o escore z (padronização) para usar a tabela/inverso da Normal padrão.
  • Para qualquer x da Normal com média \mu e desvio \sigma, o escore padronizado é
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Aqui z segue a Normal padrão N(0,1).
  • No nosso caso, queremos o z tal que
\Pr(Z \le z)=0{,}97,
onde Z\sim N(0,1). Depois, convertendo de volta para x,
L = \mu + z\,\sigma.

Passo 4

Encontrar o valor de z correspondente ao percentil 0{,}97.
  • Usando uma tabela da Normal padrão ou a função inversa da Normal, busca-se z tal que \Phi(z)=0{,}97.
  • Valores tabelados comuns: \Phi(1{,}88)=0{,}9699 e \Phi(1{,}89)=0{,}9706.
  • Interpolando linearmente para \Phi(z)=0{,}97:
\text{fração}=\frac{0{,}97-0{,}9699}{0{,}9706-0{,}9699}=\frac{0{,}0001}{0{,}0007}\approx0{,}142857,çã
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z\approx 1{,}88 + 0{,}01\cdot 0{,}142857 \approx 1{,}8814.
(Usando uma calculadora/inverso mais preciso obtém-se z\approx1{,}8808; ambos são equivalentes para nosso cálculo prático.)

Passo 5

Calcular o limite de peso L usando \mu, \sigma e z.
  • Usando z\approx1{,}8814,
L=\mu + z\,\sigma = 75 + 1{,}8814\cdot 7.
  • Calcule passo a passo:
1{,}8814\cdot 7 = 13{,}1698,
L = 75 + 13{,}1698 = 88{,}1698\\ \text{kg}.
  • Arredondando para duas casas decimais (próprio para medidas em kg): L \approx 88{,}17\\ \text{kg}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova.
  • Conclusão: o menor peso que classifica alguém entre os 3\% mais pesados é aproximadamente 88{,}17\\ \text{kg}.
  • Dica rápida para a prova: os passos sempre são (1) converter a probabilidade superior para uma cumulativa (aqui 0{,}97), (2) achar o z correspondente (tabela ou inverso), (3) usar x=\mu+z\sigma. Se só tiver tabela, faça interpolação como mostrado.

Resposta

88,17\\ \text{kg}

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