As notas dos estudantes de Estatística I foram as seguintes:
6,0 6,1 7,3 8,4 9,9
10,0 10,0 6,5 7,6 8,3
6,9 7,1 7,2 7,7 8,9
9,8 9,5 8,1 6,2 10,0
6,6 7,0 9,1 8,3 7,4
a. Calcule a média aritmética simples. (1 ponto).
b. Por mau comportamento, o professor decidiu tirar 1 ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram 10 na avaliação. É correto afirmar que a nova média da turma é o valor calculado no item a menos um? Justifique sua resposta. (1 ponto).
c. Calcule a média da turma após a penalização do professor. (1 ponto).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados: as notas dos estudantes (total de observações): \begin{array}{lllll} 6,0 & 6,1 & 7,3 & 8,4 & 9,9\\\\ 10,0 & 10,0 & 6,5 & 7,6 & 8,3\\\\ 6,9 & 7,1 & 7,2 & 7,7 & 8,9\\\\ 9,8 & 9,5 & 8,1 & 6,2 & 10,0\\\\ 6,6 & 7,0 & 9,1 & 8,3 & 7,4 \end{array}
  • Número de estudantes: n=25 (tabela 5\times5).
  • Observação importante que vou usar: há \,3 notas iguais a 10,0 (duas na segunda linha e uma na quarta).
O enunciado pede:
(a) Calcular a média aritmética simples da turma.
(b) Após o professor tirar 1 ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram 10,0, verificar se a nova média é igual à média do item (a) menos 1 e justificar.
(c) Calcular a média após a penalização.

Passo 2

Definição e fórmula da média aritmética (uma “aula rápida” bem prática).
  • A média aritmética de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.Aqui \bar{x} é o valor que representa, de forma central, o conjunto de notas; n é o número de observações; \sum_{i=1}^n x_i é a soma de todas as observações.
  • Propriedade útil: se a cada observação x_i for somado o mesmo número constante c, então a nova média será \bar{x}+c. Em notação, se y_i=x_i+c para todo i, então \bar{y}=\bar{x}+c. Isso decorre da linearidade da soma: \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+c)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c=\bar{x}+c.
  • Observação: se apenas um subconjunto das observações é alterado, a mudança da média é a média dos incrementos, ou seja, \bar{y}=\bar{x}+\dfrac{\sum \text{(delta)}}{n}, onde \sum\text{(delta)} é a soma das variações aplicadas a cada observação.

Passo 3

Calcular a soma das notas (fazer por linhas para ficar organizado e sem pular passos).
  • Soma da linha 1: 6,0+6,1+7,3+8,4+9,9=37,7.
  • Soma da linha 2: 10,0+10,0+6,5+7,6+8,3=42,4.
  • Soma da linha 3: 6,9+7,1+7,2+7,7+8,9=37,8.
  • Soma da linha 4: 9,8+9,5+8,1+6,2+10,0=43,6.
  • Soma da linha 5: 6,6+7,0+9,1+8,3+7,4=38,4.
Agora a soma total:
\sum_{i=1}^{25} x_i = 37,7+42,4+37,8+43,6+38,4 = 199,9.
Expliquei cada adição para você poder refazer sem calculadora (por exemplo, 37,7+42,4=80,1, e assim por diante).

Passo 4

Calcular a média original (item a) usando a fórmula.
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{199,9}{25}.
Fazendo essa divisão sem máquina: note que \dfrac{200}{25}=8. Como temos 199,9 em vez de 200, subtraímos \dfrac{0,1}{25}=0,004. Logo
\bar{x}=8-0,004=7,996.
Podemos arredondar para duas casas decimais se for pedido: \bar{x}\approx7,996\approx7,996 (ou, arredondando a duas casas, 8,00). Mas o valor exato com três casas decimais é \,7,996.

Passo 5

Entender o efeito da penalização (item b) — explicação conceitual com contagem.
  • O professor tira 1 ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram 10,0. Temos 3 notas iguais a 10,0 que ficam inalteradas; os demais 25-3=22 estudantes recebem -1 ponto cada.
  • Se todos os 25 estudantes tivessem perdido 1 ponto, a média diminuiria exatamente 1 ponto (por propriedade linear mencionada no Passo 2). Porém aqui somente 22 estudantes perdem 1 ponto, então a média não diminui exatamente 1; diminui menos do que 1.
    Portanto, a resposta à pergunta (b) é: não, não é correto afirmar que a nova média é a média do item (a) menos 1. A razão é que nem todas as observações foram reduzidas em 1; três observações ficaram inalteradas.

Passo 6

Calcular numericamente a nova média após a penalização (item c).
  • A penalização aplica um delta -1 a 22 observações e delta 0 a 3 observações. A soma total das variações é \sum \text{(delta)} = 22\cdot(-1) + 3\cdot 0 = -22.
  • A nova soma das notas é \sum_{i=1}^{25} x_i^{\text{(nova)}} = 199,9 + (-22) = 177,9.
  • A nova média é \bar{x}_{\text{nova}}=\frac{177,9}{25}.Para dividir sem calculadora: \dfrac{175}{25}=7 e faltam 2,9 para 177,9; \dfrac{2,9}{25}=0,116. Ou mais direto: \dfrac{177,5}{25}=7,1 e sobra 0,4 que dá 0,016; somando dá 7,116. Assim \bar{x}_{\text{nova}}=7,116.Arredondando a duas casas decimais \bar{x}_{\text{nova}}\approx7,12.

Passo 7

Comparação numérica entre a diminuição real e a hipótese “menos 1”.
  • Média original: \bar{x}=7,996.
  • Média hipotética se todos perdessem 1: 7,996-1=6,996.
  • Média real após penalização: \bar{x}_{\text{nova}}=7,116.
    Observação: 7,116>6,996, ou seja, a média caiu, mas menos do que 1 ponto, porque três notas ficaram iguais a 10,0.

Resposta

(a) \bar{x}=\dfrac{199,9}{25}=7,996
(b) Não. A nova média não é a média do item (a) menos 1, porque apenas 22 de 25 notas receberam a penalização de -1 (há 3 notas iguais a 10,0 que ficaram inalteradas).
(c) \bar{x}_{\text{nova}}=\dfrac{177,9}{25}=7,116

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