As notas dos estudantes de Estatística I foram as seguintes:
6,0
6,1
7,3
8,4
9,9
10,0
10,0
6,5
7,6
8,3
6,9
7,1
7,2
7,7
8,9
9,8
9,5
8,1
6,2
10,0
6,6
7,0
9,1
8,3
7,4
a. Calcule a média aritmética simples. (1 ponto).
b. Por mau comportamento, o professor decidiu tirar 1 ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram 10 na avaliação. É correto afirmar que a nova média da turma é o valor calculado no item a menos um? Justifique sua resposta. (1 ponto).
c. Calcule a média da turma após a penalização do professor. (1 ponto).
| 6,0 | 6,1 | 7,3 | 8,4 | 9,9 |
| 10,0 | 10,0 | 6,5 | 7,6 | 8,3 |
| 6,9 | 7,1 | 7,2 | 7,7 | 8,9 |
| 9,8 | 9,5 | 8,1 | 6,2 | 10,0 |
| 6,6 | 7,0 | 9,1 | 8,3 | 7,4 |
b. Por mau comportamento, o professor decidiu tirar 1 ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram 10 na avaliação. É correto afirmar que a nova média da turma é o valor calculado no item a menos um? Justifique sua resposta. (1 ponto).
c. Calcule a média da turma após a penalização do professor. (1 ponto).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados: as notas dos estudantes (total de observações):
- Número de estudantes:
(tabela ). - Observação importante que vou usar: há
notas iguais a (duas na segunda linha e uma na quarta).
O enunciado pede:
(a) Calcular a média aritmética simples da turma.
(b) Após o professor tirar ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram
, verificar se a nova média é igual à média do item (a) menos
e justificar.
(c) Calcular a média após a penalização.
(a) Calcular a média aritmética simples da turma.
(b) Após o professor tirar
(c) Calcular a média após a penalização.
Passo 2
Definição e fórmula da média aritmética (uma “aula rápida” bem prática).
- A média aritmética de
valores é Aqui é o valor que representa, de forma central, o conjunto de notas; é o número de observações; é a soma de todas as observações. - Propriedade útil: se a cada observação
for somado o mesmo número constante , então a nova média será . Em notação, se para todo , então . Isso decorre da linearidade da soma: - Observação: se apenas um subconjunto das observações é alterado, a mudança da média é a média dos incrementos, ou seja,
, onde é a soma das variações aplicadas a cada observação.
Passo 3
Calcular a soma das notas (fazer por linhas para ficar organizado e sem pular passos).
- Soma da linha 1:
- Soma da linha 2:
- Soma da linha 3:
- Soma da linha 4:
- Soma da linha 5:
Agora a soma total:
Expliquei cada adição para você poder refazer sem calculadora (por exemplo,
, e assim por diante).
Passo 4
Calcular a média original (item a) usando a fórmula.
Fazendo essa divisão sem máquina: note que
. Como temos
em vez de
, subtraímos
. Logo
Podemos arredondar para duas casas decimais se for pedido:
(ou, arredondando a duas casas,
). Mas o valor exato com três casas decimais é
.
Passo 5
Entender o efeito da penalização (item b) — explicação conceitual com contagem.
- O professor tira
ponto de todos os estudantes, exceto os que tiraram . Temos notas iguais a que ficam inalteradas; os demais estudantes recebem ponto cada. - Se todos os
estudantes tivessem perdido ponto, a média diminuiria exatamente ponto (por propriedade linear mencionada no Passo 2). Porém aqui somente estudantes perdem ponto, então a média não diminui exatamente ; diminui menos do que .
Portanto, a resposta à pergunta (b) é: não, não é correto afirmar que a nova média é a média do item (a) menos. A razão é que nem todas as observações foram reduzidas em ; três observações ficaram inalteradas.
Passo 6
Calcular numericamente a nova média após a penalização (item c).
- A penalização aplica um delta
a observações e delta a observações. A soma total das variações é - A nova soma das notas é
- A nova média é
Para dividir sem calculadora: e faltam para 177,9; . Ou mais direto: e sobra que dá ; somando dá . Assim Arredondando a duas casas decimais .
Passo 7
Comparação numérica entre a diminuição real e a hipótese “menos 1”.
- Média original:
. - Média hipotética se todos perdessem 1:
. - Média real após penalização:
.
Observação:, ou seja, a média caiu, mas menos do que ponto, porque três notas ficaram iguais a .
Resposta
(a)
(b) Não. A nova média não é a média do item (a) menos , porque apenas
de
notas receberam a penalização de
(há
notas iguais a
que ficaram inalteradas).
(c)
(b) Não. A nova média não é a média do item (a) menos
(c)