A distribuição do peso, de uma certa população de pessoas, pode ser modelada como uma v.a. Normal com média 75 Kg e desvio padrão de 7 Kg .
Agora,
é uma v.a. Normal com média
e variância
. Explique, usando mudança de variável em integração, por que:
Agora,
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Tem-se uma v.a.
que é Normal com média e desvio padrão (ou seja, variância ), com . - Pede-se explicar, usando mudança de variável em integração, por que a probabilidade entre dois números
e pode ser escrita como
Passo 2
Lembrando a definição de densidade da Normal: se
tem distribuição
, então a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de
é
Explicação das partes:
é a média (centro da distribuição),
é o desvio padrão (medida de dispersão). A probabilidade de
cair no intervalo
é a integral da f.d.p. nesse intervalo:
Passo 3
Fazer a mudança de variável (substituição) para padronizar a Normal. Defina a nova variável
Isto significa que
Ao derivar, obtemos a relação entre os elementos de volume:
Também transformamos os limites da integral: quando
temos
, e quando
temos
. Como
, a ordem dos limites se preserva (não invertemos os sinais).
Passo 4
Agora substituímos
e
na integral. Começando da expressão em
:
Troca pela variável
:
Simplificando dentro da integral:
, e o fator
do
cancela o
do denominador. Portanto a integral vira
Passo 5
Interpretação final: a função
é a densidade da Normal padrão
. Assim a probabilidade
é exatamente a probabilidade correspondente para a Normal padrão entre os pontos
e
, o que prova a igualdade pedida.