A distribuição do peso, de uma certa população de pessoas, pode ser modelada como uma v.a. Normal com média 75 Kg e desvio padrão de 7 Kg .
Agora, X é uma v.a. Normal com média \mu e variância \sigma=2. Explique, usando mudança de variável em integração, por que:
P(a<X<b)=\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Tem-se uma v.a. X que é Normal com média \mu e desvio padrão \sigma (ou seja, variância \sigma^{2}), com \sigma>0.
  • Pede-se explicar, usando mudança de variável em integração, por que a probabilidade entre dois números a e b pode ser escrita como
P(a<X<b)=\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz.

Passo 2

Lembrando a definição de densidade da Normal: se X tem distribuição \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), então a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X é
f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right).
Explicação das partes: \mu é a média (centro da distribuição), \sigma>0 é o desvio padrão (medida de dispersão). A probabilidade de X cair no intervalo (a,b) é a integral da f.d.p. nesse intervalo:
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x)\,dx =\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\,dx.

Passo 3

Fazer a mudança de variável (substituição) para padronizar a Normal. Defina a nova variável
z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
Isto significa que
x=\mu+\sigma z.
Ao derivar, obtemos a relação entre os elementos de volume:
dx=\sigma\,dz.
Também transformamos os limites da integral: quando x=a temos z=\dfrac{a-\mu}{\sigma}, e quando x=b temos z=\dfrac{b-\mu}{\sigma}. Como \sigma>0, a ordem dos limites se preserva (não invertemos os sinais).

Passo 4

Agora substituímos x=\mu+\sigma z e dx=\sigma\,dz na integral. Começando da expressão em x:
\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\,dx.
Troca pela variável z:
\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\frac{(\sigma z)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\cdot (\sigma\,dz).
Simplificando dentro da integral: (\sigma z)^{2}/(2\sigma^{2})=z^{2}/2, e o fator \sigma do dx cancela o \sigma do denominador. Portanto a integral vira
\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{z^{2}}{2}\right)\,dz.

Passo 5

Interpretação final: a função \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^{2}/2} é a densidade da Normal padrão \mathcal{N}(0,1). Assim a probabilidade P(a<X<b) é exatamente a probabilidade correspondente para a Normal padrão entre os pontos \dfrac{a-\mu}{\sigma} e \dfrac{b-\mu}{\sigma}, o que prova a igualdade pedida.

Resposta

P(a<X<b)=\int_{\frac{a-\mu}{\sigma}}^{\frac{b-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}}\,dz

Exercícios relacionados