Calcular a medida h da altura relativa ao lado \overline{A B} do triângulo A B C, em que A(1,2), B(4,8) e C(6,4).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
Pede-se a medida h da altura relativa ao lado \overline{A B} do triângulo A B C. Isso significa a distância perpendicular do vértice C à reta que contém o segmento \overline{A B}.
Pontos fornecidos:
A(1,2)
B(4,8)
C(6,4)
Resumo objetivo: calcular a distância do ponto C à reta A B, que é a altura h do triângulo relativa ao lado A B.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas):
Usar a relação área = \tfrac{1}{2}\timesbase\timesaltura para o triângulo. Se denotarmos por |AB| o comprimento do lado AB e por \mathcal{A} a área do triângulo, então
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\,|AB|\cdot h,
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h=\frac{2\mathcal{A}}{|AB|}.
Calculamos \mathcal{A} usando a fórmula do determinante (fórmula do “shoelace” ou área por coordenadas):
onde (x_1,y_1)=(1,2), (x_2,y_2)=(4,8), (x_3,y_3)=(6,4).
Calculamos |AB| pela distância euclidiana entre A e B:
|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Por fim, substituímos em h=\dfrac{2\mathcal{A}}{|AB|} e simplificamos.
Passo 3
Calcular a área \mathcal{A} do triângulo pelas coordenadas (aplicando a fórmula do determinante):
Substituindo (x_1,y_1)=(1,2), (x_2,y_2)=(4,8), (x_3,y_3)=(6,4) na fórmula,
Racionalizando o denominador (opcional, para forma com denominador racional):
\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.
Se desejar uma aproximação decimal, \sqrt{5}\approx 2,236, então h\approx 3,578. Mas a forma exata mais limpa é \dfrac{8}{\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}.