Calcular a medida h da altura relativa ao lado \overline{A B} do triângulo A B C, em que A(1,2), B(4,8) e C(6,4).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se a medida h da altura relativa ao lado \overline{A B} do triângulo A B C. Isso significa a distância perpendicular do vértice C à reta que contém o segmento \overline{A B}.
  • Pontos fornecidos:
    • A(1,2)
    • B(4,8)
    • C(6,4)
Resumo objetivo: calcular a distância do ponto C à reta A B, que é a altura h do triângulo relativa ao lado A B.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas):
  • Usar a relação área = \tfrac{1}{2}\timesbase \timesaltura para o triângulo. Se denotarmos por |AB| o comprimento do lado AB e por \mathcal{A} a área do triângulo, então
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\,|AB|\cdot h,
logo
h=\frac{2\mathcal{A}}{|AB|}.
  • Calculamos \mathcal{A} usando a fórmula do determinante (fórmula do “shoelace” ou área por coordenadas):
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|
onde (x_1,y_1)=(1,2), (x_2,y_2)=(4,8), (x_3,y_3)=(6,4).
  • Calculamos |AB| pela distância euclidiana entre A e B:
|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
  • Por fim, substituímos em h=\dfrac{2\mathcal{A}}{|AB|} e simplificamos.

Passo 3

Calcular a área \mathcal{A} do triângulo pelas coordenadas (aplicando a fórmula do determinante):
Substituindo (x_1,y_1)=(1,2), (x_2,y_2)=(4,8), (x_3,y_3)=(6,4) na fórmula,
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|1\cdot(8-4)+4\cdot(4-2)+6\cdot(2-8)\right|.
Calculando cada termo:
1\cdot(8-4)=1\cdot4=4,
4\cdot(4-2)=4\cdot2=8,
6\cdot(2-8)=6\cdot(-6)=-36.
Somando:
4+8-36=-24.
Tomando o valor absoluto e multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|{-24}\right|=\frac{1}{2}\cdot 24=12.
Portanto, a área do triângulo é \mathcal{A}=12.

Passo 4

Calcular o comprimento do lado AB:
Usando as coordenadas A(1,2) e B(4,8),
|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(8-2)^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}.
Simplificando \sqrt{45}:
\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}.
Logo |AB|=3\sqrt{5}.

Passo 5

Calcular a altura h usando h=\dfrac{2\mathcal{A}}{|AB|}:
Substituindo \mathcal{A}=12 e |AB|=3\sqrt{5},
h=\frac{2\cdot 12}{3\sqrt{5}}=\frac{24}{3\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}.
Racionalizando o denominador (opcional, para forma com denominador racional):
\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.
Se desejar uma aproximação decimal, \sqrt{5}\approx 2,236, então h\approx 3,578. Mas a forma exata mais limpa é \dfrac{8}{\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\dfrac{8}{\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}

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