Dados os pontos P_{1}(2,4,1) e P_{2}(3,0,5), determinar o ponto P(x, y, z) que divide o segmento \overline{P_{1} P_{2}} ao meio.
Passo 1
O enunciado dá os pontos P_{1}(2,4,1) e P_{2}(3,0,5) e pede: determinar o ponto P(x,y,z) que divide o segmento \overline{P_{1}P_{2}} ao meio.
Informações dadas:
P_{1} = (2,4,1).
P_{2} = (3,0,5).
O que é pedido:
Encontrar as coordenadas (x,y,z) do ponto P tal que P fica exatamente no meio do segmento que liga P_{1} a P_{2}.
Passo 2
Ideia e fórmula do ponto médio (explicação didática).
Se P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}), o ponto que divide o segmento ao meio — o ponto médio — tem coordenadas obtidas pela média aritmética das coordenadas correspondentes dos extremos. Em forma:
O porquê (intuição e derivação curta): parametrizamos um ponto no segmento por
P = P_{1} + t\,(P_{2}-P_{1}),
onde t\in[0,1]. Quando t=\tfrac{1}{2} o ponto fica exatamente na metade do caminho entre P_{1} e P_{2}. Substituindo t=\tfrac{1}{2} e escrevendo coordenada a coordenada obtém-se a média indicada. Aqui:
x_{1},y_{1},z_{1} são as coordenadas de P_{1};
x_{2},y_{2},z_{2} são as coordenadas de P_{2};
x,y,z são as coordenadas do ponto médio P.
Passo 3
Aplicar a fórmula aos pontos dados. Primeiro identifcar as coordenadas:
Verificação rápida (checagem de consistência): calcular os vetores \overrightarrow{P_{1}P} e \overrightarrow{PP_{2}} para checar que têm mesmo comprimento ou que P está equidistante dos extremos. Com P=\left(\tfrac{5}{2},2,3\right),