Dados os pontos P_{1}(2,4,1) e P_{2}(3,0,5), determinar o ponto P(x, y, z) que divide o segmento \overline{P_{1} P_{2}} ao meio.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P_{1}(2,4,1) e P_{2}(3,0,5) e pede: determinar o ponto P(x,y,z) que divide o segmento \overline{P_{1}P_{2}} ao meio.
Informações dadas:
  • P_{1} = (2,4,1).
  • P_{2} = (3,0,5).
O que é pedido:
  • Encontrar as coordenadas (x,y,z) do ponto P tal que P fica exatamente no meio do segmento que liga P_{1} a P_{2}.

Passo 2

Ideia e fórmula do ponto médio (explicação didática).
Se P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}), o ponto que divide o segmento ao meio — o ponto médio — tem coordenadas obtidas pela média aritmética das coordenadas correspondentes dos extremos. Em forma:
P=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\;\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\;\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right).
O porquê (intuição e derivação curta): parametrizamos um ponto no segmento por
P = P_{1} + t\,(P_{2}-P_{1}),
onde t\in[0,1]. Quando t=\tfrac{1}{2} o ponto fica exatamente na metade do caminho entre P_{1} e P_{2}. Substituindo t=\tfrac{1}{2} e escrevendo coordenada a coordenada obtém-se a média indicada. Aqui:
  • x_{1},y_{1},z_{1} são as coordenadas de P_{1};
  • x_{2},y_{2},z_{2} são as coordenadas de P_{2};
  • x,y,z são as coordenadas do ponto médio P.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos pontos dados. Primeiro identifcar as coordenadas:
x_{1}=2,\quad y_{1}=4,\quad z_{1}=1,
x_{2}=3,\quad y_{2}=0,\quad z_{2}=5.
Agora calcular cada coordenada do ponto médio:
x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2},
y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2,
z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3.

Passo 4

Verificação rápida (checagem de consistência): calcular os vetores \overrightarrow{P_{1}P} e \overrightarrow{PP_{2}} para checar que têm mesmo comprimento ou que P está equidistante dos extremos. Com P=\left(\tfrac{5}{2},2,3\right),
\overrightarrow{P_{1}P}=\left(\tfrac{5}{2}-2,\;2-4,\;3-1\right)=\left(\tfrac{1}{2},-2,2\right),
\overrightarrow{PP_{2}}=\left(3-\tfrac{5}{2},\;0-2,\;5-3\right)=\left(\tfrac{1}{2},-2,2\right).
Os vetores são iguais, portanto P está exatamente no meio do segmento \overline{P_{1}P_{2}}. Tudo coerente.

Resposta

P\!\left(\dfrac{5}{2},\,2,\,3\right)

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