Exercício 5. Sejam \vec{u}=(1,2,-3) e \vec{v}=(-3,5,2), calcule:
a) O produto escalar de \vec{u} e \vec{v}
b) \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|
c) O ângulo entre \vec{u} e \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=(1,2,-3) e \vec{v}=(-3,5,2).
Pede-se:
a) o produto escalar de \vec{u} e \vec{v};
b) as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|;
c) o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes que usarei (apenas listando os dados do enunciado):
  • Componente de \vec{u}: u_1=1, u_2=2, u_3=-3.
  • Componente de \vec{v}: v_1=-3, v_2=5, v_3=2.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (a).
Explicação didática: o produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^3 é a soma dos produtos das componentes correspondentes. A fórmula é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
onde u_i e v_i são as componentes dos vetores. Cada termo é simplesmente a multiplicação da componente i de \vec{u} pela componente i de \vec{v}, e depois soma-se tudo.
Aplicando aos números dados:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot(-3)+2\cdot5+(-3)\cdot2.
Agora faço cada produto:
1\cdot(-3)=-3,\qquad 2\cdot5=10,\qquad (-3)\cdot2=-6.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=-3+10-6=1.
Portanto o produto escalar é 1.

Passo 3

Definição e cálculo da norma de \vec{u} (parte de b).
Explicação didática: a norma (ou comprimento) de um vetor \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) é
\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Isto vem do generalização do teorema de Pitágoras: soma dos quadrados das componentes, e depois raiz quadrada.
Aplicando em \vec{u}=(1,2,-3):
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Então \|\vec{u}\|=\sqrt{14} (valor exato). Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{14}\approx3{,}7417.

Passo 4

Cálculo da norma de \vec{v} (outra parte de b).
Usando a mesma fórmula:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-3)^2+5^2+2^2}=\sqrt{9+25+4}=\sqrt{38}.
Portanto \|\vec{v}\|=\sqrt{38}. Aproximação decimal: \sqrt{38}\approx6{,}1644.

Passo 5

Fórmula para o ângulo entre vetores e interpretação (parte c).
Explicação didática: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é dado por
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e \|\vec{u}\|, \|\vec{v}\| são as normas. Isso vem da relação entre produto escalar e geometria: \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta. Para encontrar \theta isolamos \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).
Substituindo os valores que já calculei:
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{14}\,\sqrt{38}}=\frac{1}{\sqrt{532}}.
Posso simplificar a raiz:
\sqrt{532}=\sqrt{4\cdot133}=2\sqrt{133},
logo
\cos\theta=\frac{1}{2\sqrt{133}}.
Isto é a forma exata do cosseno do ângulo.
Para obter o ângulo numericamente, aplico a função arco cosseno. Aproximações:
\cos\theta\approx0{,}043343\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}(0{,}043343\ldots).
Calculando (com uma calculadora ou tabela de cossenos),
\theta\approx1{,}52744\\ \text{rad}\approx87{,}52^\circ.
Comentário amigo: o valor exato que você pode escrever na prova é \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(1/\sqrt{532}\bigr). Se a prova exigir número, use a aproximação em graus ou radianos conforme pedido.

Resposta

a) \vec{u}\cdot\vec{v}=1
b) \|\vec{u}\|=\sqrt{14}, \|\vec{v}\|=\sqrt{38}
c) \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(1/\sqrt{532}\bigr)\approx1{,}52744\\ \text{rad}\approx87{,}52^\circ

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