Exercício 5. Sejam
e
, calcule:
a) O produto escalar de
e
b)
e
c) O ângulo entre
e
a) O produto escalar de
b)
c) O ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
.
Pede-se:
a) o produto escalar de e
;
b) as normas e
;
c) o ângulo entre e
.
Pede-se:
a) o produto escalar de
b) as normas
c) o ângulo entre
Informações relevantes que usarei (apenas listando os dados do enunciado):
- Componente de
: , , . - Componente de
: , , .
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (a).
Explicação didática: o produto escalar entre dois vetores em é a soma dos produtos das componentes correspondentes. A fórmula é
Explicação didática: o produto escalar entre dois vetores em
onde
e
são as componentes dos vetores. Cada termo é simplesmente a multiplicação da componente
de
pela componente
de
, e depois soma-se tudo.
Aplicando aos números dados:
Agora faço cada produto:
Somando:
Portanto o produto escalar é
.
Passo 3
Definição e cálculo da norma de
(parte de b).
Explicação didática: a norma (ou comprimento) de um vetor é
Explicação didática: a norma (ou comprimento) de um vetor
Isto vem do generalização do teorema de Pitágoras: soma dos quadrados das componentes, e depois raiz quadrada.
Aplicando em
:
Então
(valor exato). Se quiser uma aproximação decimal,
.
Passo 4
Cálculo da norma de
(outra parte de b).
Usando a mesma fórmula:
Usando a mesma fórmula:
Portanto
. Aproximação decimal:
.
Passo 5
Fórmula para o ângulo entre vetores e interpretação (parte c).
Explicação didática: o cosseno do ângulo entre dois vetores
e
é dado por
Explicação didática: o cosseno do ângulo
onde
é o produto escalar e
,
são as normas. Isso vem da relação entre produto escalar e geometria:
. Para encontrar
isolamos
.
Substituindo os valores que já calculei:
Posso simplificar a raiz:
logo
Isto é a forma exata do cosseno do ângulo.
Para obter o ângulo numericamente, aplico a função arco cosseno. Aproximações:
Calculando (com uma calculadora ou tabela de cossenos),
Comentário amigo: o valor exato que você pode escrever na prova é
. Se a prova exigir número, use a aproximação em graus ou radianos conforme pedido.
Resposta
a)
b)
,
c)