Calcular o número de colisões de uma partícula de argônio ( d=3,64 \times 10^{-10} \mathrm{~m} ) a 500 K e 0,1 \mathrm{MPa}, e o número total de colisões no gás, por unidade de tempo.

Passo 1

O enunciado pede duas quantidades:
  • Calcular o número de colisões de uma partícula de argônio por unidade de tempo (frequência de colisões por partícula).
  • Calcular o número total de colisões no gás por unidade de tempo (por unidade de volume).
Dados fornecidos:
  • Diâmetro da partícula: d=3,64\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura: T=500\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: p=0{,}1\\ \mathrm{MPa}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    Valores físicos que serão usados:
  • Constante de Boltzmann: k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Massa de uma átomo de argônio: a massa atômica é aproximadamente 39{,}948\\ \mathrm{u} e 1\\ \mathrm{u}=1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Calcular a densidade numérica n (número de átomos por unidade de volume) usando a equação dos gases ideais na forma microscópica:
n=\frac{p}{k_B T}.
Explicação: p é a pressão do gás, k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura; essa fórmula dá o número de partículas por metro cúbico. Substituindo números:
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\cdot500 = 6{,}903245\times10^{-21}\\ \mathrm{J},
n=\frac{1{,}0\times10^{5}}{6{,}903245\times10^{-21}} \approx 1{,}44811\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Calcular a seção de choque geométrica (área eficaz) para colisões entre esferas duras:
\sigma=\pi d^{2}.
Explicação: para átomos modelados como esferas duras de diâmetro d, a seção de choque é a área de um círculo de raio d. Substituindo:
\sigma=\pi (3{,}64\times10^{-10})^{2} \approx 4{,}16218\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a velocidade relativa média entre duas partículas idênticas no gás. Primeiro a velocidade média (módulo) de uma partícula segundo Maxwell-Boltzmann:
\bar{c}=\sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}},
onde m é a massa de um átomo de argônio. Explicação: \bar{c} é a velocidade média (não a raiz quadrada média) dada pela distribuição de Maxwell; para colisões precisamos da velocidade relativa média entre pares, que para partículas idênticas é \bar{c}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\bar{c}.
Calcular m:
m = 39{,}948\times 1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 6{,}63352\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Agora calcular \bar{c} e \bar{c}_{\text{rel}}:
\bar{c}=\sqrt{\frac{8\cdot(1{,}380649\times10^{-23})\cdot500}{\pi\cdot6{,}63352\times10^{-26}}}\approx 5{,}1499\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\bar{c}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\bar{c}\approx 7{,}2807\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 5

Calcular a frequência de colisões por partícula z. Fórmula:
z = n\,\sigma\,\bar{c}_{\text{rel}}.
Explicação: n é o número de alvos por unidade de volume, \sigma é a seção de choque e \bar{c}_{\text{rel}} é a velocidade relativa média; o produto dá o número de colisões que uma partícula sofre por segundo. Substituindo os valores já calculados:
z \approx (1{,}44811\times10^{25})\cdot(4{,}16218\times10^{-19})\cdot(7{,}2807\times10^{2}) \approx 4{,}3914\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: cada átomo de argônio sofre da ordem de 10^{9} colisões por segundo (algumas bilhões por segundo).

Passo 6

Calcular o número total de colisões por unidade de volume e por unidade de tempo R. Fórmula:
R=\tfrac{1}{2}\,n\,z=\tfrac{1}{2}\,n^{2}\,\sigma\,\bar{c}_{\text{rel}}.
Explicação: n z contaria cada colisão duas vezes (uma para cada partícula envolvida), por isso o fator 1/2. Substituindo valores:
R \approx \tfrac{1}{2}\,(1{,}44811\times10^{25})\cdot(4{,}3914\times10^{9}) \approx 3{,}1796\times10^{34}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}.

Passo 7

Resumo numérico e arredondamento razoável. Valores finais arredondados com três algarismos significativos:
  • Frequência de colisões por partícula: z\approx 4{,}39\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Número de colisões por unidade de volume por unidade de tempo: R\approx 3{,}18\times10^{34}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}.
Força aí — esses números grandes são normais: gases têm muitas partículas e colisões muito rápidas!

Resposta

4{,}39\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-1}}
3{,}18\times10^{34}\\ \mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}

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