Calcular o valor da velocidade média das moléculas de
e Hg, a 298 K e a 1000 K. Comentar.
Passo 1
O que o exercício pede e os dados que temos:
- Pedir calcular a velocidade média das moléculas (para cada gás abaixo) a duas temperaturas:
e . - Gases listados:
e . - Não foi dada explicitamente a fórmula; vamos usar a expressão padrão da teoria cinética para a velocidade média (essa escolha será justificada no passo seguinte).
- Precisaremos das massas molares (em
) de cada substância e da constante universal dos gases . Essas massas molares serão usadas como informação adicional padrão (valores isotópicos naturais aproximados).
Passo 2
Qual fórmula vamos usar e por quê — explicação didática do conceito.
- A distribuição de velocidades de Maxwell para um gás ideal fornece várias medidas de velocidade. “Velocidade média” (a média aritmética das velocidades escalar) é dada por
onde:
-
é a velocidade média das moléculas (m/s), -
é a constante de Boltzmann (J/K), -
é a temperatura absoluta (K), -
é a massa de uma molécula (kg). -
Para trabalhar com massas molares (mais prático em química/engenharia) substitui-se
e , onde: -
é a constante dos gases ideais ( ), -
é o número de Avogadro, -
é a massa molar (kg/mol).
Fazendo a substituição ocancela e obtém-se a fórmula útil em termos de :
-
- Aqui:
-
em , -
em , -
em , - o resultado tem unidades de
(porque ) — sempre verifique unidades para não se perder.
-
Observação rápida e motivadora: essa fórmula vem da média da distribuição de Maxwell; existe também a velocidade quadrática média
. A média aritmética
que estamos usando é um pouco menor que
(porque a média da raiz quadrada difere da raiz da média quadrada). Para provas, é importante citar qual das duas está sendo calculada; aqui escolhi a velocidade média
por ser a solicitação literal.
Passo 3
Constantes, conversões e massas molares (valores que vou usar).
- Constante dos gases:
- Fórmula que usarei a todo momento:
- Vou trabalhar com as massas molares aproximadas (tarefas de prova costumam aceitar estes valores). Converto para
dividindo por : -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Para simplificar contas repetidas, note que a constante multiplicativa
é:
Assim a fórmula prática que vou usar é
Isto facilita a conta: calcular
e depois
.
Passo 4
Cálculo detalhado para
(exemplo passo-a-passo que mostra como fazer na prova).
- Dados:
. - Para
:
Primeiro calcule
. Então
Agora a raiz:
- Para
:
Observação prática: ao fazer isso na prova, é suficiente mostrar a fórmula, substituir
e
e calcular com uma calculadora — aqui mostrei detalhes para que ninguém se perca.
Passo 5
Cálculo para
.
-
. -
:
-
:
Passo 6
Cálculo para
(vapor).
-
. -
:
-
:
Passo 7
Cálculo para
.
-
. -
:
-
:
Passo 8
Cálculo para
.
-
. -
:
-
:
Passo 9
Cálculo para
.
-
. -
:
-
:
Passo 10
Cálculo para
.
-
. -
:
-
:
Passo 11
Cálculo para
.
-
. -
:
-
:
Passo 12
Cálculo para
(vapor de mercúrio, átomo monoatômico).
-
. -
:
-
:
Passo 13
Comentário final e interpretação (motivação para a prova).
- Tendência geral: quanto menor a massa molecular
, maior a velocidade média a mesma temperatura. Isso aparece na fórmula como . - Efeito da temperatura:
. Assim subir de para aumenta a velocidade média por um fator (aproximadamente). Verifique isso nas linhas numéricas. - Exemplos práticos:
e são muito rápidos (quilômetros por segundo em 1000 K), enquanto gases pesados como e têm velocidades médias de algumas centenas de metros por segundo. - Dica para prova: memorize a fórmula
, saiba converter para , e calcule primeiramente a constante para agilizar contas.