Calcular o valor da velocidade média das moléculas de \mathrm{H}_{2}, \mathrm{He}, \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, \mathrm{N}_{2}, \mathrm{O}_{2}, \mathrm{CO}_{2}, \mathrm{Cl}_{2}, \mathrm{HI} e Hg, a 298 K e a 1000 K. Comentar.

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos:
  • Pedir calcular a velocidade média das moléculas (para cada gás abaixo) a duas temperaturas: \,298\\ \mathrm{K} e \,1000\\ \mathrm{K}.
  • Gases listados: \mathrm{H}_{2},\\ \mathrm{He},\\ \mathrm{H}_{2}\mathrm{O},\\ \mathrm{N}_{2},\\ \mathrm{O}_{2},\\ \mathrm{CO}_{2},\\ \mathrm{Cl}_{2},\\ \mathrm{HI} e \mathrm{Hg}.
  • Não foi dada explicitamente a fórmula; vamos usar a expressão padrão da teoria cinética para a velocidade média (essa escolha será justificada no passo seguinte).
  • Precisaremos das massas molares (em \mathrm{kg/mol}) de cada substância e da constante universal dos gases R. Essas massas molares serão usadas como informação adicional padrão (valores isotópicos naturais aproximados).

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê — explicação didática do conceito.
  • A distribuição de velocidades de Maxwell para um gás ideal fornece várias medidas de velocidade. “Velocidade média” (a média aritmética das velocidades escalar) é dada por
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}},
onde:
  • \bar{v} é a velocidade média das moléculas (m/s),
  • k é a constante de Boltzmann (J/K),
  • T é a temperatura absoluta (K),
  • m é a massa de uma molécula (kg).
  • Para trabalhar com massas molares (mais prático em química/engenharia) substitui-se k = R/N_A e m = M/N_A, onde:
    • R é a constante dos gases ideais ( R=8,3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
    • N_A é o número de Avogadro,
    • M é a massa molar (kg/mol).
      Fazendo a substituição o N_A cancela e obtém-se a fórmula útil em termos de M:
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}.
  • Aqui:
    • R em \mathrm{J/(mol\;K)},
    • T em \mathrm{K},
    • M em \mathrm{kg/mol},
    • o resultado tem unidades de \mathrm{m/s} (porque \mathrm{J}=\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}) — sempre verifique unidades para não se perder.
Observação rápida e motivadora: essa fórmula vem da média da distribuição de Maxwell; existe também a velocidade quadrática média v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}. A média aritmética \bar v que estamos usando é um pouco menor que v_{\mathrm{rms}} (porque a média da raiz quadrada difere da raiz da média quadrada). Para provas, é importante citar qual das duas está sendo calculada; aqui escolhi a velocidade média \bar v por ser a solicitação literal.

Passo 3

Constantes, conversões e massas molares (valores que vou usar).
  • Constante dos gases:
R=8{,}3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Fórmula que usarei a todo momento:
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}.
  • Vou trabalhar com as massas molares aproximadas (tarefas de prova costumam aceitar estes valores). Converto para \mathrm{kg/mol} dividindo por 1000:
    • \mathrm{H}_2:\\ M=2{,}016\\ \mathrm{g/mol}=0{,}002016\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{He}:\\ M=4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0040026\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{H_2O}:\\ M=18{,}015\\ \mathrm{g/mol}=0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{N_2}:\\ M=28{,}0134\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{O_2}:\\ M=31{,}9988\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0319988\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{CO_2}:\\ M=44{,}0095\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0440095\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{Cl_2}:\\ M=70{,}906\\ \mathrm{g/mol}=0{,}070906\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{HI}:\\ M\approx127{,}91\\ \mathrm{g/mol}=0{,}12791\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \mathrm{Hg}:\\ M\approx200{,}59\\ \mathrm{g/mol}=0{,}20059\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Para simplificar contas repetidas, note que a constante multiplicativa \dfrac{8R}{\pi} é:
\dfrac{8R}{\pi}\approx \dfrac{8\cdot 8{,}3145}{3{,}141593}\approx 21{,}177\\ (\text{unidade: }\mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}).
Assim a fórmula prática que vou usar é
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{21{,}177\;T}{M}}.
Isto facilita a conta: calcular S=\dfrac{21{,}177\,T}{M} e depois \bar v=\sqrt{S}.

Passo 4

Cálculo detalhado para \mathrm{H}_2 (exemplo passo-a-passo que mostra como fazer na prova).
  • Dados: M=0{,}002016\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Para T=298\\ \mathrm{K}:
S=\dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}002016}.
Primeiro calcule \dfrac{21{,}177}{0{,}002016}\approx 10\,503{,}7. Então
S\approx 10\,503{,}7\cdot 298 \approx 3\,130\,103.
Agora a raiz:
\bar{v}=\sqrt{3\,130\,103}\approx 1\,768{,}6\\ \mathrm{m/s}.
  • Para T=1000\\ \mathrm{K}:
S=\dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}002016}\approx 10\,503{,}7\cdot 1000=10\,503\,700,
\bar{v}=\sqrt{10\,503\,700}\approx 3\,240{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Observação prática: ao fazer isso na prova, é suficiente mostrar a fórmula, substituir M e T e calcular com uma calculadora — aqui mostrei detalhes para que ninguém se perca.

Passo 5

Cálculo para \mathrm{He}.
  • M=0{,}0040026\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S=\dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}0040026}\approx 1\,576\,599,
\bar{v}=\sqrt{1\,576\,599}\approx 1\,255{,}6\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S=\dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}0040026}\approx 5\,290\,600,
\bar{v}=\sqrt{5\,290\,600}\approx 2\,300{,}1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Cálculo para \mathrm{H_2O} (vapor).
  • M=0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S=\dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}018015}\approx 350\,388{,} \quad \bar{v}\approx \sqrt{350\,388}\approx 592{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}018015}\approx 1\,175\,800, \quad \bar{v}\approx \sqrt{1\,175\,800}\approx 1\,084{,}4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo para \mathrm{N_2}.
  • M=0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}0280134}\approx 225\,318, \quad \bar{v}\approx \sqrt{225\,318}\approx 474{,}8\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}0280134}\approx 756\,100, \quad \bar{v}\approx \sqrt{756\,100}\approx 869{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Cálculo para \mathrm{O_2}.
  • M=0{,}0319988\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}0319988}\approx 197\,398, \quad \bar{v}\approx \sqrt{197\,398}\approx 444{,}3\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}0319988}\approx 662\,410, \quad \bar{v}\approx \sqrt{662\,410}\approx 814{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Cálculo para \mathrm{CO_2}.
  • M=0{,}0440095\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}0440095}\approx 143\,407, \quad \bar{v}\approx \sqrt{143\,407}\approx 378{,}7\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}0440095}\approx 481\,230, \quad \bar{v}\approx \sqrt{481\,230}\approx 693{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Cálculo para \mathrm{Cl_2}.
  • M=0{,}070906\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}070906}\approx 88\,998, \quad \bar{v}\approx \sqrt{88\,998}\approx 298{,}3\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}070906}\approx 298\,650, \quad \bar{v}\approx \sqrt{298\,650}\approx 546{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 11

Cálculo para \mathrm{HI}.
  • M=0{,}12791\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}12791}\approx 49\,358, \quad \bar{v}\approx \sqrt{49\,358}\approx 222{,}2\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}12791}\approx 165\,630, \quad \bar{v}\approx \sqrt{165\,630}\approx 407{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 12

Cálculo para \mathrm{Hg} (vapor de mercúrio, átomo monoatômico).
  • M=0{,}20059\\ \mathrm{kg/mol}.
  • T=298\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 298}{0{,}20059}\approx 31\,460, \quad \bar{v}\approx \sqrt{31\,460}\approx 177{,}4\\ \mathrm{m/s}.
  • T=1000\\ \mathrm{K}:
S\approx \dfrac{21{,}177\cdot 1000}{0{,}20059}\approx 105\,570, \quad \bar{v}\approx \sqrt{105\,570}\approx 325{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 13

Comentário final e interpretação (motivação para a prova).
  • Tendência geral: quanto menor a massa molecular M, maior a velocidade média \bar v a mesma temperatura. Isso aparece na fórmula como \bar v\propto 1/\sqrt{M}.
  • Efeito da temperatura: \bar v\propto \sqrt{T}. Assim subir de 298\\ \mathrm{K} para 1000\\ \mathrm{K} aumenta a velocidade média por um fator \sqrt{1000/298}\approx 1{,}83 (aproximadamente). Verifique isso nas linhas numéricas.
  • Exemplos práticos: \mathrm{H}_2 e \mathrm{He} são muito rápidos (quilômetros por segundo em 1000 K), enquanto gases pesados como \mathrm{Hg} e \mathrm{HI} têm velocidades médias de algumas centenas de metros por segundo.
  • Dica para prova: memorize a fórmula \bar v=\sqrt{8RT/(\pi M)}, saiba converter g/mol para kg/mol, e calcule primeiramente a constante \dfrac{8R}{\pi} para agilizar contas.

Resposta

\mathrm{H}_2:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=1\,768{,}6\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=3\,240{,}5\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{He}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=1\,255{,}6\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=2\,300{,}1\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{H_2O}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=592{,}0\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=1\,084{,}4\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{N_2}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=474{,}8\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=869{,}6\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{O_2}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=444{,}3\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=814{,}0\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{CO_2}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=378{,}7\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=693{,}7\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{Cl_2}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=298{,}3\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=546{,}5\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{HI}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=222{,}2\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=407{,}0\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{Hg}:\\ \bar{v}(298\\ \mathrm{K})=177{,}4\\ \mathrm{m/s},\\ \bar{v}(1000\\ \mathrm{K})=325{,}0\\ \mathrm{m/s}

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