Calcule a energia cinética rotacional total das moléculas de 1,00 \mathrm{~mol} de um gás diatômico a 300 K .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a energia cinética rotacional total das moléculas de 1{,}00\\ \mathrm{mol} de um gás diatômico à temperatura 300\\ \mathrm{K}.
Informações dadas:
  • Quantidade de substância: n=1{,}00\\ \mathrm{mol}.
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • O gás é diatômico (moléculas lineares formadas por dois átomos).
O que precisamos encontrar: a energia rotacional total contida em todas as moléculas dessa amostra (unidade de energia: joule, \mathrm{J}).

Passo 2

Conceito central: teorema da equipartição da energia.
Explicação do teorema (de forma direta e prática):
  • O teorema da equipartição diz que, em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade que aparece quadraticamente na energia contribui com \tfrac{1}{2}k_B T para a energia média por molécula.
  • Aqui:
    • k_B é a constante de Boltzmann, k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
    • T é a temperatura em kelvin.
  • “Grau de liberdade que aparece quadraticamente” significa que a energia associada a esse movimento tem a forma \tfrac{1}{2}I\omega^2 (para rotação) ou \tfrac{1}{2}m v^2 (para translação), ou seja, quadrática nas variáveis dinâmicas. Cada uma dessas contribuições dá \tfrac{1}{2}k_B T por molécula.

Passo 3

Quantos graus de liberdade rotacionais tem uma molécula diatômica linear?
Raciocínio passo a passo:
  • Uma molécula linear (como uma diatômica) pode girar em torno de três eixos, mas a rotação em torno do eixo que liga os dois átomos praticamente não muda a energia (momento de inércia muito pequeno), então essa rotação não contribui no modelo clássico usual.
  • Portanto, uma molécula diatômica linear tem dois graus de liberdade rotacionais efetivos.
  • Logo, a energia rotacional média por molécula é a soma de duas contribuições de \tfrac{1}{2}k_B T: \text{energia rotacional por molécula} = 2\cdot\frac{1}{2}k_B T = k_B T.é
Aqui explico o significado das variáveis usadas:
  • k_B: constante de Boltzmann (energia por kelvin por partícula).
  • T: temperatura absoluta em kelvin.
  • O produto k_B T tem unidades de energia ( \mathrm{J}) e é a energia térmica média por partícula para dois graus rotacionais.

Passo 4

Converter energia por molécula para energia por mol (total para n mols).
Relação útil:
  • A constante dos gases ideais R está ligada a k_B por R = N_A k_B, onde N_A é o número de Avogadro.
  • Portanto, a energia rotacional por mol (energia de todas as N_A moléculas de um mol) é E_{\text{rot, por mol}} = N_A \cdot (k_B T) = (N_A k_B)T = R T.
  • Variáveis:
    • N_A é o número de Avogadro, N_A\approx6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
    • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 5

Aplicar aos valores numéricos: n=1{,}00\\ \mathrm{mol} e T=300\\ \mathrm{K}.
Para 1{,}00\\ \mathrm{mol} a energia rotacional total é simplesmente E_{\text{rot}}=n\cdot R T. Como n=1{,}00,
E_{\text{rot}} = R T.
Agora calculamos numericamente usando R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
E_{\text{rot}} = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 300\\ \mathrm{K}.
Fazendo a multiplicação:
E_{\text{rot}} = 2494{,}3387854\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Arredondamento e apresentação final com algarismos significativos.
  • Os dados do problema são n=1{,}00\\ \mathrm{mol} (três algarismos significativos) e T=300\\ \mathrm{K} (três algarismos, embora 300 possa às vezes ser ambíguo; vamos manter três algarismos significativos).
  • Portanto, apresentamos o resultado com três algarismos significativos:
E_{\text{rot}} \approx 2{,}49\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

2{,}49\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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