Calcule a energia cinética rotacional total das moléculas de
de um gás diatômico a 300 K .
Passo 1
O enunciado pede: calcular a energia cinética rotacional total das moléculas de
de um gás diatômico à temperatura
.
Informações dadas:
- Quantidade de substância:
. - Temperatura:
. - O gás é diatômico (moléculas lineares formadas por dois átomos).
O que precisamos encontrar: a energia rotacional total contida em todas as moléculas dessa amostra (unidade de energia: joule,
).
Passo 2
Conceito central: teorema da equipartição da energia.
Explicação do teorema (de forma direta e prática):
- O teorema da equipartição diz que, em equilíbrio térmico clássico, cada grau de liberdade que aparece quadraticamente na energia contribui com
para a energia média por molécula. - Aqui:
-
é a constante de Boltzmann, . -
é a temperatura em kelvin.
-
- “Grau de liberdade que aparece quadraticamente” significa que a energia associada a esse movimento tem a forma
(para rotação) ou (para translação), ou seja, quadrática nas variáveis dinâmicas. Cada uma dessas contribuições dá por molécula.
Passo 3
Quantos graus de liberdade rotacionais tem uma molécula diatômica linear?
Raciocínio passo a passo:
- Uma molécula linear (como uma diatômica) pode girar em torno de três eixos, mas a rotação em torno do eixo que liga os dois átomos praticamente não muda a energia (momento de inércia muito pequeno), então essa rotação não contribui no modelo clássico usual.
- Portanto, uma molécula diatômica linear tem dois graus de liberdade rotacionais efetivos.
- Logo, a energia rotacional média por molécula é a soma de duas contribuições de
:
Aqui explico o significado das variáveis usadas:
-
: constante de Boltzmann (energia por kelvin por partícula). -
: temperatura absoluta em kelvin. - O produto
tem unidades de energia ( ) e é a energia térmica média por partícula para dois graus rotacionais.
Passo 4
Converter energia por molécula para energia por mol (total para
mols).
Relação útil:
- A constante dos gases ideais
está ligada a por , onde é o número de Avogadro. - Portanto, a energia rotacional por mol (energia de todas as
moléculas de um mol) é - Variáveis:
-
é o número de Avogadro, . -
é a constante universal dos gases, .
-
Passo 5
Aplicar aos valores numéricos:
e
.
Para
a energia rotacional total é simplesmente
. Como
,
Agora calculamos numericamente usando
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Arredondamento e apresentação final com algarismos significativos.
- Os dados do problema são
(três algarismos significativos) e (três algarismos, embora 300 possa às vezes ser ambíguo; vamos manter três algarismos significativos). - Portanto, apresentamos o resultado com três algarismos significativos: