Calcular o número que, dividido por 12,40 e 60 deixa sempre o mesmo resto 5 ?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o número que, ao ser dividido por
, por
e por
, deixa sempre o mesmo resto
.
Informações dadas: ao dividir o número por cada um desses divisores o resto é .
Informações dadas: ao dividir o número por cada um desses divisores o resto é
Passo 2
Vamos traduzir isso em matemática. Seja
o número procurado. Dizer que a divisão de
por
deixa resto
significa que existe um quociente inteiro
tal que
e que
(o que é verdadeiro para
). Portanto, para cada divisor temos as congruências
Passo 3
Subtraindo
de todas as congruências obtemos que
é divisível por
, por
e por
. Ou seja,
é um múltiplo comum de
,
e
. Para descrever todos os múltiplos comuns usamos o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês).
Passo 4
Calculemos o MMC de
,
e
por fatoração em primos:
O MMC toma as maiores potências de cada primo:
,
,
. Logo
Passo 5
Como
é múltiplo de
, podemos escrever
para algum inteiro
. Assim a solução geral é
com
. Se você deseja apenas números naturais (não negativos), escolha
. Exemplos: para
temos
; para
temos
. Verificação rápida para
:
,
,
.