Calcular o número que, dividido por 12,40 e 60 deixa sempre o mesmo resto 5 ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o número que, ao ser dividido por 12, por 40 e por 60, deixa sempre o mesmo resto 5.
Informações dadas: ao dividir o número por cada um desses divisores o resto é 5.

Passo 2

Vamos traduzir isso em matemática. Seja N o número procurado. Dizer que a divisão de N por d deixa resto 5 significa que existe um quociente inteiro q tal que
N = qd + 5
e que 0 \le 5 < d (o que é verdadeiro para d=12,40,60). Portanto, para cada divisor temos as congruências
N \equiv 5 \pmod{12},\qquad N \equiv 5 \pmod{40},\qquad N \equiv 5 \pmod{60}.

Passo 3

Subtraindo 5 de todas as congruências obtemos que N-5 é divisível por 12, por 40 e por 60. Ou seja, N-5 é um múltiplo comum de 12, 40 e 60. Para descrever todos os múltiplos comuns usamos o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês).

Passo 4

Calculemos o MMC de \,12, \,40 e \,60 por fatoração em primos:
12 = 2^2\cdot 3,\qquad 40 = 2^3\cdot 5,\qquad 60 = 2^2\cdot 3\cdot 5.
O MMC toma as maiores potências de cada primo: 2^3, 3^1, 5^1. Logo
\operatorname{mmc}(12,40,60)=2^3\cdot 3\cdot 5=8\cdot 15=120.

Passo 5

Como N-5 é múltiplo de 120, podemos escrever
N-5 = 120k
para algum inteiro k. Assim a solução geral é
N = 5 + 120k,
com k\in\mathbb{Z}. Se você deseja apenas números naturais (não negativos), escolha k\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Exemplos: para k=0 temos N=5; para k=1 temos N=125. Verificação rápida para N=125: 125=10\cdot 12+5, 125=3\cdot 40+5, 125=2\cdot 60+5.

Resposta

N = 5 + 120k,\\ k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados