Nenhuma outra informação foi dada; o enunciado pede que utilizemos as decomposições A=LU (isso significa que vamos fatorar cada A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma triangular superior U e usar essa fatoração para resolver os sistemas).]
Passo 2
Breve explicação do método (mão na massa depois): o que é A=LU e como usar
A ideia: fatorar A como
A = L\,U,
onde L é triangular inferior com uns na diagonal (forma canônica de Doolittle)
e U é triangular superior. Se A x=b e A=LU, então
LUx=b.
Definimos y=Ux. Então primeiro resolvemos
L y = b
(pela “substituição para frente” — forward substitution), e depois
U x = y
(pela “substituição para trás” — back substitution). Isso é rápido porque L e U têm zeros muitos lugares.
Como fazer forward substitution (detalhe para dimensão n):
Se L tem elementos l_{ij} e diagonal com l_{ii}=1, então para L y=b temos, para i=1,\dots,n,
y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij} y_j.
Note que cada y_i depende só dos anteriores — dá para calcular em ordem crescente.
Como fazer back substitution para U x=y:
Se U tem elementos u_{ij} (triangular superior), então para i=n,n-1,\dots,1,
\text{(a) para } b=\begin{pmatrix}21\\[4pt]3\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\text{(a) para } b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{27}\\[6pt]-\dfrac{1}{27}\end{pmatrix}
\text{(b) para } b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]11\\[4pt]15\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\text{(b) para } b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}\dfrac{43}{89}\\[6pt]\dfrac{3}{89}\\[6pt]\dfrac{7}{89}\end{pmatrix}]