Utilize as decomposições A=L U da questão 3 para resolver os seguintes sistemas:
a)
\left[\begin{array}{cc} 16 & 5 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\\ b_{2} \end{array}\right], \quad \text { para } b=\left[\begin{array}{c} 21 \\\\ 3 \end{array}\right] \text { e } b=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right] .
b)
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} b_{1} \\\ b_{2} \\\ b_{3} \end{array}\right], \quad \text { para } b=\left[\begin{array}{c} 3 \\\\ 11 \\\\ 15 \end{array}\right] \text { e } b=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right] .

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (leia devagar que isso já ajuda a organizar a cabeça):
  • Parte (a): matriz
A=\left[\begin{array}{cc}16 & 5\\[4pt]1 & 2\end{array}\right]
e devemos resolver os sistemas A x=b para
b=\left[\begin{array}{c}21\\[4pt]3\end{array}\right]\quad\text{e}\quad b=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right].
  • Parte (b): matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 6 & 4\\[4pt]0 & 4 & 11\end{array}\right]
e devemos resolver A x=b para
b=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]11\\[4pt]15\end{array}\right]\quad\text{e}\quad b=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{array}\right].
Nenhuma outra informação foi dada; o enunciado pede que utilizemos as decomposições A=LU (isso significa que vamos fatorar cada A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma triangular superior U e usar essa fatoração para resolver os sistemas).]

Passo 2

Breve explicação do método (mão na massa depois): o que é A=LU e como usar
  • A ideia: fatorar A como
A = L\,U,
onde L é triangular inferior com uns na diagonal (forma canônica de Doolittle)
e U é triangular superior. Se A x=b e A=LU, então
LUx=b.
Definimos y=Ux. Então primeiro resolvemos
L y = b
(pela “substituição para frente” — forward substitution), e depois
U x = y
(pela “substituição para trás” — back substitution). Isso é rápido porque L e U têm zeros muitos lugares.
  • Como fazer forward substitution (detalhe para dimensão n):
    Se L tem elementos l_{ij} e diagonal com l_{ii}=1, então para L y=b temos, para i=1,\dots,n,
y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij} y_j.
Note que cada y_i depende só dos anteriores — dá para calcular em ordem crescente.
  • Como fazer back substitution para U x=y:
    Se U tem elementos u_{ij} (triangular superior), então para i=n,n-1,\dots,1,
x_i = \frac{1}{u_{ii}}\left(y_i - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij} x_j\right).
Cada x_i usa só os já calculados com índices maiores.
Agora vamos aplicar isso passo a passo nas duas matrizes do enunciado. Vou calcular explicitamente os multiplicadores (os l_{ij}) e as entradas de U.

Passo 3

Parte (a) — fatoração A=LU para
A=\left[\begin{array}{cc}16 & 5\\[4pt]1 & 2\end{array}\right].
Usamos Doolittle: L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]l_{21} & 1\end{pmatrix}, U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt]0 & u_{22}\end{pmatrix}.
  • Primeiro pivô u_{11}=a_{11}=16.
  • Multiplicador l_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{1}{16}.
  • u_{12}=a_{12}=5.
  • u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=2-\dfrac{1}{16}\cdot 5=2-\dfrac{5}{16}=\dfrac{27}{16}.
Logo
L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{16} & 1\end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{cc}16 & 5\\[4pt]0 & \dfrac{27}{16}\end{array}\right].]

Passo 4

Parte (a), sistema com b=\left[\begin{smallmatrix}21\\[3pt]3\end{smallmatrix}\right].
Primeiro resolvemos L y=b (forward substitution).
  • y_1 = b_1 = 21.
  • y_2 = b_2 - l_{21} y_1 = 3 - \dfrac{1}{16}\cdot 21 = 3 - \dfrac{21}{16} = \dfrac{48}{16}-\dfrac{21}{16}=\dfrac{27}{16}.
Agora resolvemos U x = y (back substitution).
  • Equação para x_2:
\dfrac{27}{16}\,x_2 = y_2 = \dfrac{27}{16}\quad\Rightarrow\quad x_2 = 1.
  • Equação para x_1:
16\,x_1 + 5\,x_2 = y_1 = 21 \quad\Rightarrow\quad 16\,x_1 +5\cdot 1 =21
16\,x_1 = 16 \quad\Rightarrow\quad x_1 =1.
Portanto para esse b obtemos
x=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 5

Parte (a), sistema com b=\left[\begin{smallmatrix}1\\[3pt]0\end{smallmatrix}\right].
Novamente L y=b:
  • y_1 = b_1 = 1.
  • y_2 = b_2 - l_{21} y_1 = 0 - \dfrac{1}{16}\cdot 1 = -\dfrac{1}{16}.
Agora U x = y:
  • Da segunda equação:
\dfrac{27}{16}\,x_2 = y_2 = -\dfrac{1}{16}\quad\Rightarrow\quad x_2 = -\dfrac{1}{27}.
  • Da primeira:
16\,x_1 +5\,x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 16\,x_1 = 1 -5x_2 = 1 -5\left(-\dfrac{1}{27}\right) = 1 + \dfrac{5}{27} = \dfrac{27}{27}+\dfrac{5}{27}=\dfrac{32}{27}.
x_1 = \dfrac{1}{16}\cdot \dfrac{32}{27} = \dfrac{32}{432} = \dfrac{2}{27}.
Portanto para esse b obtemos
x=\left[\begin{array}{c}\dfrac{2}{27}\\[6pt]-\dfrac{1}{27}\end{array}\right].]

Passo 6

Parte (b) — fatoração A=LU para
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\[4pt]1 & 6 & 4\\[4pt]0 & 4 & 11\end{array}\right].
Usamos Doolittle. Escrevemos L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[3pt]l_{21}&1&0\\[3pt]l_{31}&l_{32}&1\end{pmatrix} e U=\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\[3pt]0&u_{22}&u_{23}\\[3pt]0&0&u_{33}\end{pmatrix}.
  • u_{11}=a_{11}=2.
  • u_{12}=a_{12}=1,\quad u_{13}=a_{13}=0.
  • l_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{1}{2}.
  • l_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{0}{2}=0.
  • u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=6-\dfrac{1}{2}\cdot 1 = 6-\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{2}.
  • u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=4-\dfrac{1}{2}\cdot 0 =4.
  • l_{32}=\dfrac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}}=\dfrac{4-0}{11/2}=\dfrac{4}{11/2}=\dfrac{8}{11}.
  • u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=11-0-\dfrac{8}{11}\cdot 4 =11-\dfrac{32}{11}=\dfrac{121-32}{11}=\dfrac{89}{11}.
Assim
L=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt]0 & \dfrac{8}{11} & 1\end{array}\right],\qquad U=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\[4pt]0 & \dfrac{11}{2} & 4\\[4pt]0 & 0 & \dfrac{89}{11}\end{array}\right].]

Passo 7

Parte (b), sistema com b=\left[\begin{smallmatrix}3\\[3pt]11\\[3pt]15\end{smallmatrix}\right].
Primeiro L y=b:
  • y_1 = b_1 = 3.
  • y_2 = b_2 - l_{21} y_1 = 11 - \dfrac{1}{2}\cdot 3 = 11 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{22}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{19}{2}.
  • y_3 = b_3 - l_{31} y_1 - l_{32} y_2 = 15 - 0 - \dfrac{8}{11}\cdot \dfrac{19}{2} = 15 - \dfrac{152}{22} = 15 - \dfrac{76}{11} = \dfrac{165}{11}-\dfrac{76}{11}=\dfrac{89}{11}.
Agora U x = y (back substitution):
  • Da terceira equação:
\dfrac{89}{11}\,x_3 = y_3 = \dfrac{89}{11}\quad\Rightarrow\quad x_3 = 1.
  • Da segunda:
\dfrac{11}{2}\,x_2 + 4\,x_3 = y_2 = \dfrac{19}{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{11}{2}\,x_2 = \dfrac{19}{2}-4 = \dfrac{19}{2}-\dfrac{8}{2}=\dfrac{11}{2}
\Rightarrow\quad x_2 = 1.
  • Da primeira:
2\,x_1 + 1\cdot x_2 +0\cdot x_3 = y_1 = 3\quad\Rightarrow\quad 2\,x_1 +1 =3\quad\Rightarrow\quad x_1 =1.
Portanto para esse b obtemos
x=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 8

Parte (b), sistema com b=\left[\begin{smallmatrix}1\\[3pt]1\\[3pt]1\end{smallmatrix}\right].
Primeiro L y=b:
  • y_1 = b_1 = 1.
  • y_2 = b_2 - l_{21} y_1 = 1 - \dfrac{1}{2}\cdot 1 = \dfrac{1}{2}.
  • y_3 = b_3 - l_{31} y_1 - l_{32} y_2 = 1 - 0 - \dfrac{8}{11}\cdot \dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{4}{11} = \dfrac{11}{11}-\dfrac{4}{11}=\dfrac{7}{11}.
Agora U x = y:
  • Terceira equação:
\dfrac{89}{11}\,x_3 = \dfrac{7}{11}\quad\Rightarrow\quad x_3 = \dfrac{7}{89}.
  • Segunda equação:
\dfrac{11}{2}\,x_2 + 4\,x_3 = \dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{11}{2}\,x_2 = \dfrac{1}{2} - 4\cdot \dfrac{7}{89} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{28}{89}.
Calcule a diferença (denominador comum 178):
\dfrac{1}{2} = \dfrac{89}{178},\qquad \dfrac{28}{89}=\dfrac{56}{178}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{2}-\dfrac{28}{89}=\dfrac{33}{178}.
Então
x_2 = \dfrac{33}{178}\cdot \dfrac{2}{11} = \dfrac{66}{1958} = \dfrac{33}{979} = \dfrac{3}{89}.
(na última igualdade simplificamos 33/(979)=3/89 porque 979=11\cdot 89 e 33=3\cdot 11.)
  • Primeira equação:
2\,x_1 + x_2 = y_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_1 = 1 - x_2 = 1 - \dfrac{3}{89} = \dfrac{86}{89}.
x_1 = \dfrac{43}{89}.
Portanto para esse b obtemos
x=\left[\begin{array}{c}\dfrac{43}{89}\\[6pt]\dfrac{3}{89}\\[6pt]\dfrac{7}{89}\end{array}\right].]

Resposta

\text{(a) para } b=\begin{pmatrix}21\\[4pt]3\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\text{(a) para } b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{27}\\[6pt]-\dfrac{1}{27}\end{pmatrix}
\text{(b) para } b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]11\\[4pt]15\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\text{(b) para } b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}:\quad x=\begin{pmatrix}\dfrac{43}{89}\\[6pt]\dfrac{3}{89}\\[6pt]\dfrac{7}{89}\end{pmatrix}]

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