Calcular \oint_{c} \frac{d z}{z-3} onde C é (a) o círculo |z|=1, (b) o círculo |z+i|=4.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral de contorno
\oint_{C}\frac{dz}{z-3}
em dois círculos distintos. O conteúdo envolve usar o Teorema dos Resíduos (ou a Fórmula Integral de Cauchy) para funções meromorfas, sabendo que existe um único polo simples em z=3.

Passo 2

Pelo Teorema dos Resíduos, se f(z)=1/(z-3) e C é um contorno fechado positivamente orientado, vale
\oint_{C}f(z)\,dz \;=\;2\pi i\sum_{\text{pólos dentro de }C}\operatorname{Res}(f)\,.ó
Aqui há apenas um polo em z=3 e
\operatorname{Res}\bigl(f,3\bigr) =\lim_{z\to3}(z-3)\frac1{z-3}=1.

Passo 3

Em (a), C é o círculo \lvert z\rvert=1. Como \lvert3\rvert=3>1, o ponto z=3 fica fora de C. Logo não há resíduo interno e
\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z-3}=0.

Passo 4

Em (b), C é o círculo \lvert z+i\rvert=4, centro em -i e raio 4. A distância de 3 ao centro é
\lvert3-(-i)\rvert=\lvert3+i\rvert=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}<4,
então z=3 está dentro de C. Assim
\oint_{|z+i|=4}\frac{dz}{z-3} =2\pi i\cdot1=2\pi i.

Resposta

(a) 0
(b) 2\pi i

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