Calcule \oint_{c} \frac{e^{3 z}}{z-\pi i} d z, se C é (a) o circulo |z-1|=4, (b) a elipse |z-2|+|z+2|=6.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z-\pi i}\,dz
sabendo que a única singularidade de f(z)=\frac{e^{3z}}{z-\pi i} é um polo simples em z=\pi i. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que se C é um contorno fechado positivamente orientado e z_0 está no interior de C, então
\oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{\text{pólos internos}} \Res(f;z_0).

Passo 2

Calculamos a única resíduo de f em z_0=\pi i. Como é polo simples,
\Res\bigl(f;\pi i\bigr) =\lim_{z\to\pi i}(z-\pi i)\frac{e^{3z}}{z-\pi i} =e^{3\pi i}.

Passo 3

Observação:
e^{3\pi i}=\cos(3\pi)+i\sin(3\pi)=-1.

Passo 4

(a) C é o círculo \lvert z-1\rvert=4. A distância de \pi i ao centro 1+0i é
\bigl|\pi i -1\bigr|=\sqrt{(-1)^2+(\pi)^2} =\sqrt{1+\pi^2}\approx3{,}30<4,
logo z=\pi i está dentro de C. Assim
\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z-\pi i}\,dz =2\pi i\;e^{3\pi i} =2\pi i\;(-1) =-2\pi i.

Passo 5

(b) C é a elipse \lvert z-2\rvert+\lvert z+2\rvert=6. Para z=\pi i temos
\lvert\pi i-2\rvert+\lvert\pi i+2\rvert =2\sqrt{4+\pi^2}\approx2\cdot3{,}73=7{,}46>6,
logo \pi i está fora de C. Não há polos internos, então
\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z-\pi i}\,dz=0.

Resposta

(a) -2\pi i
(b) 0

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