Calcule \oint_{c} \frac{e^{z}}{z-2} d z, onde C é (a) o círculo
, (b) o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral de linha
em dois contornos distintos: (a) o círculo
e (b) o círculo
.
O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, para uma função meromorfa,
O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, para uma função meromorfa,
Passo 2
Identificamos a única singularidade de
, que é um polo simples em
.
Passo 3
Calculamos o resíduo em
. Como é um polo simples,
Passo 4
Para o círculo
, o ponto
satisfaz
, logo está dentro de
.
Pelo Teorema dos Resíduos,
Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 5
Para o círculo
, temos
, então
fica fora de
.
Como é analítica em e dentro de
, o integral é zero:
Como
Resposta
(a)
(b)
(b)