Calcule \oint_{c} \frac{e^{z}}{z-2} d z, onde C é (a) o círculo |z|=3, (b) o círculo |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral de linha
\oint_{C}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz
em dois contornos distintos: (a) o círculo |z|=3 e (b) o círculo |z|=1.
O conteúdo aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, para uma função meromorfa,
\oint_{C}f(z)\,dz = 2\pi i\sum (\text{resíduos de }f\text{ dentro de }C).í

Passo 2

Identificamos a única singularidade de \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{z-2}, que é um polo simples em z=2.

Passo 3

Calculamos o resíduo em z=2. Como é um polo simples,
\text{Res}\bigl(f,2\bigr) =\lim_{z\to2}(z-2)\frac{e^{z}}{z-2} =e^{2}.

Passo 4

Para o círculo |z|=3, o ponto z=2 satisfaz |2|<3, logo está dentro de C.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{|z|=3}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz =2\pi i\;\text{Res}\bigl(f,2\bigr) =2\pi i\,e^{2}.

Passo 5

Para o círculo |z|=1, temos |2|>1, então z=2 fica fora de C.
Como f(z) é analítica em e dentro de |z|=1, o integral é zero:
\oint_{|z|=1}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz=0.

Resposta

(a) \;2\pi i\,e^{2}
(b) \;0

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